Dede2

Producto Cruz o Producto Punto
Oscar Bayron Mu˜
noz Jarqu´ın, Luis David Sanchez de Jesus, Eduardo Flores Hernandez
3 de octubre de 2015

El producto cruz de dos cantidades vectoriales es otro vector cuya magnitud var´ıa seg´
un el ´angulo
entre los dos vectores originales. El producto vectorial se refiere a veces como el producto vectorial
de dos vectores. La magnitud del producto cruzrepresenta el ´area del paralelogramo cuyos lados se
definen por los dos vectores, como se muestra en la siguiente figura. Por lo tanto, el valor m´aximo para
el producto cruz se produce cuando los dos vectores son perpendiculares uno al otro, pero cuando los
dos vectores son paralelos entre s´ı, la magnitud del producto cruz es igual a cero.

PASOS A SEGUIR
Estos paso son para aprender a resolverproblemas de producto cruz.

1.

Matrices y determinantes.

Una matriz es un arreglo rectangular de n´
umeros, todo esto se escribe en corchetes. El determinante
de una matriz es un n´
umero; una matriz no tiene un valor num´erico, adem´as de que solo est´a definido
para matrices cuadradas y se denota con barras verticales.

2.

Calculo de determinantes, se debe saber que:

3.

Calculo de determinantes den x n

El patr´on que aparece en este punto, el cual comienza con signo m´as que en la esquina superior
izquierda. Elige cualquier columna o rengl´on; en general, aquella o aquel que contenga m´as cerros
ahorran el trabajo. Se traza una recta vertical y otra horizontal que pasen por el primer n´
umero del
rengl´on o columna elegido. Los n´
umeros que no est´an en estas rectas forman undeterminante de (n1)x(n-1) que se debe multiplicar por el numero por el cual pasan las rectas(con el signo determinado
1

por el patr´on). Este proceso se repite con todos los dem´as n´
umeros de la columna o rengl´on elegidos, al
u
´ltimo se suman los resultados. Este proceso, llamado desarrollo por menores, funciona con cualquier
columna o rengl´
on. La mejor manera de memorizar el proceso espracticarlo, asegurarse de utilizar el
signo correcto.

4.

Simplificaci´
on de determinantes

El c´alculo de determinantes se facilita cuando hay ceros. Sumar un rengl´on o columna a otro
rengl´on o columna no altera el valor del determinante, pero puede simplificar los c´alculos. La longitud
del producto cruz a x b es el area del paralelogramo generado por los vectores a y b. El vector a
x b nos da elvector normal del plano generado por a y b.

5.

Calculo de un producto cruz.
Si a = (a1, a2, a3) y b= (b1,b2,b3), entonces:

Debes de notar que, a x b = - (b x a). El producto cruz no es conmutativo. Adem´as, a x b es un
vector, no un escalar.

6.

Propiedades del producto cruz

Los vectores a, b y a x b forman un sistema y la direcci´on de a x b se determinan con el m´etodo
de la mano derecha. Elproducto cruz a x b es un vector ortogonal a a y b. La longitud de a x b es
a b cos θ , donde θ es el ´
angulo entre a y b. El producto cruz esta relacionado con sin θ mientras
que el producto punto est´
a relacionado con cos θ.

7.

Otras propiedades del producto cruz

Si el producto cruz es cero, entonces: (i) la longitud de uno de ellos es cero, o (iii) sin θ θ = 0, es
decir, θ = 0, de manera quelos vectores deben de ser paralelos.

Es el a´rea del paralelogramo generado por los vectores (a, b) y (c,d) que parten de un mismo
punto. E l valor absoluto del determinante.

2

Es el volumen del paralelogramo del paralelep´ıpedo generado por los vectores (a,b,c), (d,e,f) y
(g,h,i) que parten de un mismo punto.

8.

Ecuaci´
on del plano

La ecuaci´on de un plano es ax+by+cz+d= 0. El vector(a,b,c) es ortogonal. Si conocemos dos
vectores en un plano, podemos determinar un vector ortogonal a este usando el producto cruz

9.

Ejemplo detallado
Calcular el producto cruz o vectorial (A x B) para los vectores A = 2i + 4j – 5k B = -4I – 5J +

2K
CONCEPTO
Utilizar el producto cruz o vectorial
PLANTEARLO
Mediante la graficaci´
on y definir el arreglo matem´atico que se utilizaran. Tales como...