DEFINIR LOS CONCEPTOS DE POTENCIACIÓN Y DE RADICACIÓN
Definir y dar ejemplos de las propiedades de ambos concepto
LA POTENCIACIÓN es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, alcuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero.
Definición.
Se llama potencia a una expresión de laforma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente.
Exponente entero.
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
(1)
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicasmás abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base.
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Expandir]
Ejemplos:
Potencia de una potencia.
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente esel producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
[Expandir]
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como.
Potencia de un producto.
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
[Expandir]
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediantesigno negativo -a, entonces se tiene la regla:
[Expandir] si n es par.
si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)
Observación
División de potencias de igual base.
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con unexponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor ,[1] esto es:
[Expandir]
De forma extendida aparecen 3 casos:
Ejemplo:
Potencia de exponente 0.
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:[2] [3]
El caso particular de , en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero).
Potencia de un cociente.
La potencia de uncociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
[Expandir]
O de forma extendida:
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
Exponente racional
Artículo principal: Radicación
La potenciación con exponenteracional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:(3)
Observación
En general para las fracciones se define que:
(4)
Relación
[Expandir]
Propiedades.
Exponente real.
Artículos principales: Exponenciación y Logaritmo.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces...
Regístrate para leer el documento completo.