Demostración De Modelo Clásico De Regresión

CAP´
ıTULO 3

El modelo cl´sico de regresi´n
a
o
En el cap´
ıtulo anterior hemos aplicado el algebra matricial y la estad´
ıstica descriptiva al modelo lineal general y = Xβ + u para encontrar el estimador de m´
ıniˆ = (X� X)−1 X� y. La teor´ de matrices ha jugado un papel
mos cuadrados ordinarios β
ıa
relevante en el desarrollo del tema: nos ha permitido ordenar el conjunto de datosen
la matriz de dise˜o X y en el vector de observaciones y, resolver el sistema de ecuan
ˆ
e
e
ciones normales X� Xβ = X� y y establecer las propiedades num´ricas de este m´todo
� (y − Xβ ) = X� u = 0 . Tambi´n hay que apreciar el papel jugado
ˆ
ˆ
e
de estimaci´n, X
o
k
por la estad´
ıstica descriptiva: nos revela que el estimador de m´
ınimos cuadrados usa
la informaci´n de losdatos resumida en los momentos muestrales de primer y segundo
o
�
�
�n
orden h=1 Xih , n=1 Xih Xjh y n=1 Xih Yh , y nos sugiere medir la bondad del ajuste
h
h
ˆ
mediente el cudadrado de la correlaci´n simple entre Yi e Yi .
o
En este cap´
ıtulo vamos a hacer uso de la teor´ de probabilidad para estudiar las
ıa
propiedades estad´
ısticas del estimador de m´
ınimos cuadrados. Vamos aespecificar
un conjunto de supuestos b´sicos bajo los cuales el estimador de m´
a
ınimos cuadrados
ordinarios es el mejor estimador que puede utilizarse porque cumple unas propiedades
estad´
ısticas deseables.
3.1.

Supuestos b´sicos
a

Sea y = (Y1 Y2 . . . Yn )� un vector de n-variables aleatorias y sea X una matriz n × k
de variables explicativas. Suponemos que la esperanza matem´ticade y condicionada a
a
X, E (y|X), es una funci´n lineal de un vector de par´metros β = (β1 β2 . . . βk )� , esto
o
a
es,
E (y|X) = Xβ
y que el vector de variables aleatorias y puede representarse como
(3.1)

y = Xβ + u

en donde u = (u1 u2 . . . un )� es un vector de n perturbaciones estoc´sticas.
a
Es conveniente interpretar la ecuaci´n (3.1) como un experimento estad´
o
ısticoque puede repetirse en id´nticas condiciones. Cada vez que se repite el experimento
e
se obtiene un resultado aleatorio. El resultado del experimento representado por
la ecuaci´n (3.1) es un vector de observaciones. De aqu´ los datos {y1 , y2 , . . . , yn }
o
ı,
que se emplean en la estimaci´n de un modelo de regresi´n se interpretan como una
o
o
realizaci´n particular de las infinitasposibles realizaciones de una variable aleatoria no
dimensional {Y1 , Y2 , . . . , Yn }. Tambi´n se dice que los datos los datos {y1 , y2 , . . . , yn }
e
son una muestra de la poblaci´n {Y1 , Y2 , . . . , Yn }. Para resaltar esta distinci´n entre
o
o
muestra y poblaci´n cualquier modelo estad´
o
ıstico y, en particular, el modelo de regresi´n
o
se denomina tambi´n proceso generador dedatos.
e
37

38

3.1. Supuestos b´sicos
a

Observaci´n 13. En Econometr´a, es habitual utilizar la misma notaci´n para las
o
ı
o
variables aleatorias {Y1 , Y2 , . . . , Yn } y para los valores observados {Y1 , Y2 , . . . , Yn }. La
notaci´n, por tanto, es ambigua, pero la ambiguedad se resolver´ en el contexto en que
o
a
se utiliza.
El modelo lineal general (3.1) cumple lossupuestos b´sicos si:
a
1. X es una matriz no estoc´stica de rango k < n, tal que
a
X� X
=Q
n→∞ n
siendo Q una matriz finita no singular (definida positiva) de orden k × k,
2. u tiene una distribuci´n normal multivariante con vector de medias nulo y
o
2
matriz de varianzas y covarianzas escalar, u ∼ N (0, σu In )
l´
ım

El significado de los supuestos referidos a la matriz de variablesexplicativas X es el
siguiente:
1. Regresores no estoc´sticos. La matriz X es no estoc´stica cuando permanece
a
a
fija en las diferentes repeticiones del experimento.
2. Ausencia de multicolinealidad. El rango de X, ρ(X) = k, es el n´mero de columu
nas (o filas) linealmente independientes. Este supuesto implica que ρ(X� X) = k
y que el sistema de ecuaciones normales tiene soluci´n unica. Si el...