Demostración Fermat

CIENCIA
AL DIA
ENERO, 1999 NUMERO 1 VOLUMEN 2
Copyright © 1999 Ciencia al Día

Nota sobre el último Teorema de Fermat y su demostración por Andrew Wiles
© P Kittl 1999 Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad de Chile
RESUMEN En esta nota se da una idea somera de la naturaleza del Ultimo Teorema de Fermat y su reciente demostración. Se hace mención a las referenciashistóricas que marcan el proceso de su demostración por Andrew Wiles. . ABSTRACT This comment gives a general idea of Fermat’s Last Theorem and its recent. Here I mention some of the historic references that determine the process of its demonstration by Andrew Wiles.

El enunciado del último Teorema de Fermat (1601-1665) quedó anotado en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Alejandría(150 A.C.) traducida al latín por Claude Gaspar Bachet (15811638) publicado en 1621. Este libro, con las numerosas notas marginales de Fermat, fue publicado en 1670 por su hijo Clemente Samuel. El enunciado del teorema dice que la ecuación (1) xn + yn = zn no tiene soluciones enteras para n>2. Fermat afirma que tenía una demostración, pero se exime de darla argumentado que el márgen es demasiadoestrecho como para dárnosla.
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Recientemente, en 1995, Wiles demostró este teorema. Para entender mejor este teorema veamos el caso n=2, para el cual existen soluciones enteras. x2 + y2 = z2 (2)

Hagamos cuatro filas de números (esquema 1). En la primera van los númerosnaturales 1,2,…; en la segunda sus cuadrados 1, 4, 9, …; en la tercera la diferencia entre los cuadrados vecinos 3, 5, 7, …; en la cuarta las diferencias de las diferencias 2, 2, …

Esquema 1. Los elementos de la segunda fila se obtienen sumando al cuadrado la diferencia, que es la serie de números impares, y se obtiene el cuadrado siguiente. Si nos fijamos en el número 25=(5)2 vemos que setiene: 144 + 25 = 169 (3) 2 2 2 (12) + (5) = (13) Es fácil generalizar esta fórmula obteniéndose: 2 2 (4) (2n + 1) 2 + [2n ⋅ ( n + 1) ] = [2n ⋅ ( n + 1) + 1] que da una serie de soluciones enteras a la ecuación (2). La obtención de soluciones enteras en forma matemática y experimental puede hacerse con un computador. En la serie de cuadrados 4, 9, …, se busca para uno cualquiera de los cuadrados siel menor tiene alguno que sumado al primero da el cuadrado elegido. Por ejemplo, para (5)2 = 25, tenemos: 1+ 4= 5 1 + 9 = 10 1 + 16 = 17 1 + 25 = 26 4 + 9 = 13 4 + 16 = 20 4 + 25 = 29 9 + 16 = 25 9 + 25 = 34

Esquema 2
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Solamente se obtiene el caso (3)2 + (4)2 = (5)2 = 9+ 16 = 25. Se ve cómo fácilmente puede obtenerse los casos posibles para un cuadrado cualquiera. El caso general, es decir, la solución de la ecuación (2) cuando x, y, o z no tienen un divisor común es la siguiente: x2 + y2 = z 2 (5) x = u2 − v2 y = 2⋅u ⋅v z = u2 + v2 u y v son números primos entre sí; uno de ellos es par y el otro impar. Si x, y, z tuvieran un divisor común, la ecuación podríaescribirse como sigue: 2 (6) ( n ⋅ x) 2 + (n ⋅ y ) = ( n ⋅ z ) 2 En tal caso, podría obtenerse una solución x, y, z, que conforman una solución reducida. La sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, … (7) puede obtenerse fácilmente con el método de la criba de Eratóstenes (275-194 A.C.). Usando la ssucesión (7) y las fórmulas (5) obtenemos la sucesión de solucionesreducidas: x=3 y=4 z=5 x=5 y = 12 z = 13 x = 15 y=8 z = 17 x=7 y = 24 z = 25 (8) x = 21 y = 20 z = 29 x=9 y = 40 z = 41 … … … Esta solución se puede estudiar en los tratados elementales de teoría de números de Rademacher y Toeplitz [1] y de Carmichael [2]. Todos estos tipos de investigaciones, tanto teóricas como numéricas se han aplicado al último Teorema de Fermat. Las investigaciones...