Fermat





Indice


1. - Introducción
2. – Presentación
Pendiente de la recta tangente según Fermat
Pendiente de la recta tangente según Newton
Pendiente de la recta tangente según Leibniz
3. – Desarrollo
Solución de problemas de la recta tangente según Fermat, Newton y Leibniz
Comparación de cómo se resuelve hoy en día
4. – Conclusiones




Objetivo

Investigar los métodos que sehan creado para hallar la pendiente de una recta tangente, además de conocer como realizar dicho método y permitirnos hacer una comparación sobre la evolución de todos los métodos que se han creado para hallar la pendiente de una recta tangente

Introducción

A la humanidad le ha tomado cientos de años determinar la pendiente de la tangente pero gracias a esta investigación es como se hapodido perfeccionar el proceso de dicha determinación

Más adelante se explicara el procedimiento para obtener la pendiente de la recta tangente con el método que descubrió Fermat, Newton y Leibniz así como también haremos una comparación y explicación de lo que se hace actualmente para obtener el resultado.

Esto nos servirá para observar la diferencia entre un método y otro y darnos cuenta deque gracias a la modificación de los métodos es que podemos resolver problemas en minutos con algo que ha tomado muchos años en descubrirse






Pendiente de la Recta Tangente
(según Fermat)

En los métodos de las tangentes de Fermat se ve por primera vez el cociente incremental que define la derivada, a pesar de que sus primeras aplicaciones a las tangentes se mantienen en un ámbitoalgebraico sin cruzar la frontera entre lo finito y lo infinitesimal, el da un paso trascendental hacia la algoritmización de la diferenciación de Newton y Leibniz

Fermat deriva un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas de sus métodos de máximos y mínimos

Teoría de la investigación de máximos y mínimos

1.- Sea a una incógnita cualquiera del problema (que tengauna, dos o tres dimensiones, según convenga al enunciado).
2.- Se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a en términos que pueden ser de cualquier grado.
3.- Se sustituirá a continuación la incógnita original A por A+e, y se expresará la cantidad máxima o mínima por medio de a y e, en términos que pueden ser de cualquier grado.
4.- Se adigualara las dos expresiones de la cantidadmáxima o mínima
5.- Se eliminarán los términos comunes de ambos lados, entonces resultará que a ambos lados habrá términos afectados de e o de una de sus potencias
6.- Se dividirán todos los términos por e, o por alguna potencia superior de e, de modo que desaparecerá la e, de al menos uno de los términos de uno cualquiera de los dos miembros
7.- Se suprimirán todos los términos donde todavíaaparece la e o una de sus potencias, y se iguala lo que queda, o bien si en uno de los miembros no queda nada, se igualará, lo que viene a ser lo mismo, los términos afectados con signo positivo a los afectados con signo negativo
8.- La resolución de esta última ecuación dará el valor de a, que conducirá al máximo o mínimo, utilizando la expresión original




Se toma en cuenta a la parábola BDNcon vértice D y diámetro DC, y se plantea trazar la tangente en un punto B de la misma. Sea ésta BE, que intersecta al eje en el punto E.
Si se toma sobre la recta BE un punto cualquiera O, desde el que se traza la ordenada OI, al mismo tiempo que la ordenada BC desde el punto B, se tendrá: CD/DI> BC2/OI2, puesto que el punto O es exterior a la parábola
Escogemos en el segmento de tangente BE unpunto O cualquiera y tracemos la ordenada OI, así como la BC.
De la propiedad de la parábola tendremos: BC2/PI2 = CD/DI,
OI>PI = CD/DI > BC2/OI2.
Ahora, de la semejanza de los triángulos rectángulos  BCE, OIE se tiene:
BC/OI = CE/IE.
De las dos últimas relaciones deducimos finalmente: CD/DI > CE2/IE2.
Pongamos CD=d, CI=e. Determinaremos el segmento subtangente, CE=a.
A partir de la...