Demostraciones

Ramón Alfredo Rui Ureña
C.I.: 16228190
Análisis Matemático IV

1.- Demostración de la Resolvente
���� 2 + ���� + �� = 0 ⇒ �� =

−�� ± �� 2 −4�� .��
2��

Hip: ���� 2 + ���� + �� = 0
Tesis: �� =

−�� ± �� 2 −4�� .��
2��

Dem: M.D
���� 2 + ���� + �� = 0

4�� ���� 2 + ���� + �� = 4�� (0)

4��2 �� 2 + 4������ + 4���� = 4��(0)

4��2 �� 2 + 4������ + 4���� = 0

4��2 �� 2 +4������ + 4���� + �� 2 = 0 + �� 2

4��2 �� 2 + 4������ + 4���� + �� 2 = �� 2

4��2 �� 2 + 4������ + 4���� + �� 2 + −4���� = �� 2 + (−4����)

Pre multiplico por 4a

Por Axioma Mixto

Por Teorema Demostrado

Sumo �� 2 por la derecha

Por Teorema Demostrado

Sumo (−4���� ) por la derecha

4��2 �� 2 + 4������ + 4���� + −4���� + �� 2 = �� 2 + (−4����)

Por S1

4��2 �� 2 + 4������ [+4���� +−4���� ] + �� 2 = �� 2 + (−4���� )

Por S2

4��2 �� 2 + 4������ + �� 2 = �� 2 + (−4����)

Por S4

Ramón Alfredo Rui Ureña
C.I.: 16228190
Análisis Matemático IV

4��2 �� 2 + 4������ + �� 2 = �� 2 − 4����

Por Teorema Demostrado

(2���� + ��)2 = �� 2 − 4����

Por Teorema Demostrado

(2���� + ��)2 = ± �� 2 − 4����

Aplico raíz cuadrada a ambos miembros

2���� + �� = ± �� 2 − 4����

PorTeorema Demostrado

Sumo �� 2 por la izquierda

−�� + 2���� + �� = (−��) ±

�� 2

− 4����

2���� + [ −�� + ��] = (−��) ± �� 2 − 4����

Por S1

2���� = (−��) ± �� 2 − 4����

Por S4

2���� −�� ± �� 2 − 4����
=
2��
2��

�� =

−�� ± �� 2 − 4����
2��

Ramón Alfredo Rui Ureña
C.I.: 16228190
Análisis Matemático IV

2. - ¿la intersección del conjunto vacío con otro conjuntoes igual a vacío?
Es decir, demostrar si: ∅ ∩ �� = ∅
�� ∈ ∅ ∩ �� = ∅; ������ ����������������ó�� ���� ��������������������ó��.
�� ∈ ∅ ∧ �� ∈ �� = ∅; ������ ����������������ó�� ���� ����������������ó��.
�� ∈ ∅; ������ ������������������������ ó��.
∅ = ∅; ������ ����������������ó�� ���� ������í��.
∴ ���� ���������������� ������: ∅ ∩ �� = ∅.

3. - ¿es el conjunto vacío subconjunto decualquier conjunto?
a)

La parte (a) se simboliza por

Supongamos que x = ∅. Debemos demostrar que para cualquier y, y ⊆ x.
Pero demostrar que y ⊆ x es, por la definición de subconjunto (definición *) demostrar que para todo
ℤ, se cumple: ∗: ℤ ∈ x → (ℤ ∈ y)
Como ℤ ∈ x es siempre falsa (pues x = ∅), entonces
falso (ley **). Así que para todo ℤ, x ⊆ y, vale.

es siempre verdadera por la ley delantecedente

Anexo: Definición (*): Sean a y b dos conjuntos. Diremos que a es un subconjunto de b (a ⊆ b) si.
∀x: x ∈ a → x ∈ b
Definición (**): (Ley del antecedente falso) Considere la implicación p → q. Si el antecedente de la
implicación (��) es falso, entonces p → q es verdadera.
∴ se concluye que: x = ∅ → ∀y: x ⊆ y, es decirque: vacío es subconjunto de cualquier conjunto.

RamónAlfredo Rui Ureña
C.I.: 16228190
Análisis Matemático IV

4. Demostración del teorema de L’HOPITAL.

Sean �� y �� dos funciones definidas en el intervalo ��, �� , y sean �� �� = �� �� = 0 y �� ��
≠ 0 para �� < �� < ��. Si �� y �� son derivables en �� y ��′ ��
��
�� ′ ��
≠ 0, entonces existe el límite de en �� y es igual a ′
. Por lo tanto,
��
�� ��
Demostración.
��

Caso ��:
Dado quef(a)=g(a)=0 el cociente f(x)/g(x) para a 0 tal que si a < x < a + δ entonces:
f′ x
− L < ε.
g′ x
Para cada x que satisface a < x < a + δ se obtiene (por el teorema del
valor medio de Cauchy) un punto cx tal que a < cx < x ∗ y.
f(x) f′(cx )
=
.
g(x) g′(cx )
Puesto que cx satisface < cx < a + δ, la desigualdad anterior indica que:
f(x)
f′(cx )
−L =
− L < ε.
g(x)
g′(cx )
Puesto queesta expresión es válida para toda x con a < x
fx
< a + δ, se concluye que: lim
= L.
x →a + g x
Dem: b)
Se considera unicamente el caso + ∞ porque para el caso
− ∞, dependerá del valor asignado arbitrariamente a la K. Si se da cualquier K
f′ x
> 0, entonces existe un δ > 0 tal que si a < x < a + δ entonces ′
gx
> K. Para cada una de tales x se puede aplicar el...