DERIVADAD

DERIVADA
Definición.- Sea una función definida en el punto , se dice que es derivable en , si el siguiente límite existe y es finito. Sí la función es derivable en , se llama derivada de en .
La definición anterior es equivalente a: ,

Definición.- (Función derivada)
Sea una función y existe}. Sí , la función


Se denomina función derivada de f, o derivada de f y se denotapor
Y se lee “derivada de f(x) respecto a x”
f’(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a,f(a)).
Sí f es derivable en a, existe recta tangente a la gráfica de f en P(a,f(a)).
Derivadas laterales
Sea una función y
Definición.- Derivada por la izquierda. La derivada por la izquierda de f en a, se denota con f’( y se define por:
,
Sí este límite existe y es finito,se dice f es derivable por la izquierda en a.
Definición.- Derivada por la derecha. La derivada por la izquierda de f en a, se denota con f’( y se define por:
,
Sí este límite existe y es finito, se dice f es derivable por la derecha en a.
Proposición.-, una función, f es derivable en a sí y sólo sí existen y son iguales
Proposición.- Sí una función f es derivable en el punto a, entonces escontínua en a.
Reglas de derivación
Teorema.- Sean dos funciones derivables en una constante, entonces, las funciones: y también, si son derivables en y se tiene:
1)
2)
3)
4)
5)
Teorema.- Sí son funciones derivables en entonces
1) es derivable en y

2) es derivable en
Lema.- Sí son funciones derivables en entonces existe una función
Tal que con

Teorema.- (Regla de la cadena).- Seandos funciones con . Sí es derivable en y es derivable en , entonces, es derivable en y se cumple
Corolario.- Sí es una función derivable en y , entonces es derivable en y
De lo anterior tenemos.
1) Sí son dos funciones derivables, entonces
donde
2) Sí derivable, admite función inversa entonces
, sí
3) Sí son dos funciones derivables, entonces

4) Sí esderivable, entonces

5) Sí es derivable con ,entonces

6) Sí es derivable con ,entonces

Proposición.- (Fórmula de Leibnitz) Supongamos que las funciones y son definidas y derivables hasta el orden n en el mismo conjunto A. Entonces es derivable hasta el orden n en A y se tiene:
donde
y
Derivada de una función implícita.- En general sí una ecuación define implícitamente a la función, para obtener es suficiente derivar la ecuación, término a término, considerando a la variable como una función de , y de la ecuación resultante despejar .
Un método práctico para obtener es aplicar la siguiente fórmula: donde es la derivada respecto a considerando a como constante y es la derivada respecto a considerando a como constante.
I) Hallar sí
1) 2) 3) 4)II) Determinar , donde es una función derivable dada implícitamente por:
1) 2)
3) 4)



Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Sea , derivable en , considerando la interpretación geométrica de se dan las siguientes definiciones.
Definición.- Se llama recta tangente a la gráfica de en elpunto , a la recta cuya ecuación es
Definición.- La recta que pasa por en el punto y es perpendicular a la recta tangente de la gráfica de en , es llamada recta normal a la gráfica de en el punto , si , la ecuación de la recta normal está dada por:
Funciones crecientes y decrecientes ó monótonas
Definición.- Sea y
a) Se dice que es no decreciente en cuando con
b) Se dice que es nocreciente en cuando con
c) Se dice que es creciente en cuando con
d) Se dice que es decreciente en cuando con
En cualquiera de los 4 casos se dice que es monótona en
Proposición.- Sí es una función continua en y derivable en .
a) Sí entonces es creciente en
b) Sí entonces es decreciente en
Proposición.- (Condición suficiente de extremo de una función con la primera...