derivadas calculo

UNIVERSIDAD CATOLICA SANTA MARIA
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y FORMALES






CALCULO DIFERENCIAL
Trabajo de Investigación: “Derivadas de Funciones Trascendentes”

HECHO POR:
LEÓN CHÁVEZ ESTEFANY

CARRERA PROFESIONAL: INGENIERIA INDUSTRIAL

AREQUIPA
2013


1. Introducción

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor dedicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un puntodado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

































2. Definición

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad  cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece acierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manerasimultánea.
































3. Desarrollo


Derivabilidad

Si una función es derivable en un punto x=a, entonces es continua en x=a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que sin embargo no son derivables.

Ejemplo (1):
f(x) = x2 en x = 0.
La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar laderivabilidad.

En x = 0 la función es continua y derivable.

















Ejemplo (2):

La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.



Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonométricas inmediatas.


Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.Función Derivada

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).



Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.





Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1









Interpretación física de la Derivada



Velocidad MediaLa velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).
















Velocidad Instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

















Interpretación Geométrica de la derivada










Cuando htiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.















La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)













CLASIFICACION DE LAS DERIVADAS

A) Derivadaslogarítmicas
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-exponencial, es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica, ya que facilitan bastante el cálculo.





Ejemplo (1):













B) Derivada del Arcocosecante



La derivada del arcocosecante de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la función multiplicada...