Derivadas En Calculo

Derivadas
Física fundamental

La pendiente:

y x Supóngase que la línea azul corresponde a un camino sobre las colinas de una montaña y que se está interesado en conocer la pendiente del camino en cada punto.¿Cómo se puede saber cual es la esta pendiente ? R: para cada punto del camino (exceptuando los puntos de unión entre segmentos de caminos con distintas pendientes) se puede encontrar lapendiente midiendo cuanto se avanza en la dirección y cuando en la dirección x se avanza un cierto intervalo. Así la pendiente se define como la razón entre la variación en y e la variación en x: Δy/Δx

Δy3 Δy2 Δx1 Δy1

Δy m= Δx

Como puede verse en el dibujo esta definición de pendiente coincide con la noción popular de pendiente (inclinación). Obsérvese, que dependiendo de la inclinación delcamino, para el mismo incremento en x la variación en el eje y es diferente (Entre más empinado sea el camino, para el mismo incremento en x corresponderá una variación mayor en y, que puede ser positiva o negativa).

¿De que otra forma se puede expresar la pendiente de un camino recto? R: Se puede expresar también como el ángulo que forma el camino con respecto a la horizontal

θ3 θ1
θ2

¿Y cómo seencuentra el ángulo? R: Usando trigonometría, una forma puede ser:
Obsérvese que esta definición de la tangente coincide con la definición de pendiente que dimos al comienzo.

Δy tan θ = → Δx ⎛ Δy ⎞ m1 = θ = arctan ⎜ ⎟ ⎝ Δx ⎠

Tenemos entonces que la pendiente de cualquier recta está dada por:

Δy = tan θ m= Δx
Y que cualquier recta quedará definida si se conoce la pendiente y un punto cualquierapor donde pase:
y

yf yi xi xf t

En el gráfico se ven dos rectas que tienen la misma pendiente. Sin embargo cada una pasa por puntos diferentes, así si se conoce la pendiente y un punto, la recta quedará totalmente definida.

y − y0 Δy m= = = tan θ Δx x − x0 y = m ( x − x0 ) + y0

La ecuación de la recta es entonces:

y ( x ) = m ( x − x0 ) + y0
Ahora si la recta pasa por el punto (0,b), laecuación de la recta quedará:

y ( x ) = mx + b

m es la pendiente de la recta

¿Pero, cómo se encuentra la pendiente cuando la función no es una línea recta?

? ?

¿Cómo se define la pendiente en un punto cualquiera de la curva?

R:/ Si se quiere calcular la pendiente de la misma forma en que se calculó para el caso de la recta, se encuentra que esta pendiente difiere de la pendiente real. Además sise toma un punto adelante la pendiente dará diferente que si se toma un punto atrás. ¿Qué pasa ahora si los dos puntos (el de adelante y el de atrás) se van acercando al punto en cuestión? R: a medida que los puntos se acercan la pendiente comienza a parecerse más a la pendiente verdadera, además las pendientes encontradas con el punto de atrás y el punto de adelante se empiezan a parecer, demanera que tienden a un mismo valor. En el límite cuando los tres puntos son el mismo la pendiente debe coincidir con la pendiente real:

y − y0 Δy m = lim = lim Δx → 0 Δx x0 → x x − x 0

y y0 y

y − y0 Δy m = lim = lim Δx → 0 Δx x0 → x x − x 0 m = lim
h →0

f ( x + h) − f ( x) x+h−x f ( x + h) − f ( x) h = df ( x ) dx

O

m = lim
x h
x0 = x + h y0 = f ( x0 ) = f ( x + h)

x0

h →0

t

Así, si : f (x) = x 2 + 1
m= m= df ( x ) dx df ( x ) dx df ( x ) = lim
h →0

f ( x + h) − f ( x) h

df ( x ) dx

Se lee derivada con respecto a x de la función f

h x 2 + 2 xh + h 2 + 1 − x 2 − 1 m= = lim h →0 dx h df ( x ) 2 xh + h 2 m= = lim = lim 2 x + h = 2 x h →0 h →0 dx h

= lim
h →0

( x + h)

2

+ 1 − ( x 2 + 1)

En la figura la curva azul gruesa corresponde a la función f(x) y la curva verdecorresponde a la función derivada de f con respecto a x. La pendiente de las rectas de colores, que son tangentes en cada punto, se obtuvieron remplazando el valor del punto en la función derivada. Así la derivada evaluada en cada punto nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Si :

f ( x) = x
m= m= df ( x ) dx df ( x ) dx df ( x ) = lim
h →0

f ( x + h) − f ( x) h ( x + h)...