Descenso Infinito

Descenso infinito: un método de demostración poco conocido

Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducciónal absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de cómo sea el resultado que queremos demostrar puede que nos interese más usar una demostración uotra, pero en principio todas son perfectamente válidas siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellas sean correctos.
Los métodos de demostración que se han nombrado en el párrafoanterior son los, digámoslo así, más habituales. El post que nos ocupa pretende presentar un método de demostración que es muy poco conocido, aunque no por eso deja de ser brillante: el método deldescenso infinito.
Este método de demostración fue ideado por Pierre de Fermat y digamos que es una variante del método de reducción al absurdo aplicable a problemas con enteros positivos. Consiste en losiguiente:
Supongamos que queremos demostrar una cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que se para un cierto n número natural se cumple su negación, ¬P, y a partir de ahí demostramos queentonces también se cumple su negación para un número natural menor que n. Continuando con el razonamiento obtenemos una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo cual es imposible; odescendiendo llegamos a un cierto número natural que no cumple ¬P. Por tanto, aplicando reducción al absurdo obtenemos lo que queríamos: que P es cierta.
Vamos a ver un ejemplo. Demostraremos que si v,w son primos relativos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos ésto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:
1.- v y w son primos relativos
2.- vwes un cuadrado
3.- v y w no son ambos cuadrados

Vamos con ello:
Intercambiando los papeles de v y w si hace falta supondremos q v no es un cuadrado. En particular v es distinto de 1. Por tanto...