descjubrio

Integrales
Introducción
El problema de hallar el área comprendida entre la grafica de una función positiva y = f(x), el eje OX y las rectas x = a, x=b.
Dicha área se representaba como

Vimos que este problema estaba relacionado con el cálculo de una primitiva de f(x).
El Teorema de Barrow nos asegura que si F(x) es tal que F0(x) = f(x)entonces

Nuestro problema es el cálculo del volumen de un prisma de base rectangular R = [a, b] ã- [c, d] y limitado superiormente por la grafica de una función z = f(x, y) Positiva.
A este volumen lodenotaremos por

Difiere del problema anterior en que no se resuelve encontrando una primitiva de f(x, y) (no tiene sentido), sino por el calculo de volúmenes por secciones.
El volumen vendrádado por la suma infinita de las áreas de las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos paralelos al plano XZ, o también sumando las áreas de las infinitas secciones que se obtienen alcortar el cuerpo por planos paralelos al plano Y Z.


Donde

Considerando en cada caso la x o la y fija.
Así

El problema se convierte en el calculo de una integral reiterada que ya sabemosresolver.
Integral triple
En el caso de las integrales triples se siguen los mismos pasos que en las integrales dobles
Sea el paralelepípedo R Sea f(x, y, z) una función continua sobre R
DefinimosDefinición (Integral triple)
Si f es una función acotada y, existe el y no depende de la elección de
Los entonces se dice que f es integrable, y al valor de este límite se le llamaintegral triple sobre R, y se representa

Consecuencia: Si f(x, y, z) = 1, entonces = V representa el volumen.
Propiedades.
Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.
• 1. Todafunción continua es integrable
• 2. Linealidad, monotonía y aditividad
• 3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede hallar por integración reiterada....