Descomposición en valores singulares y pseudoinversas

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DESCOMPOSICIÓN EN VALORES SINGULARES Y SEUDO INVERSAS.
( Kincaid, Chenney :Análisis Numérico)

TEOREMA 1:

Toda matriz compleja A de m x n se puede factorizar en la forma[pic] donde P es una matriz unitaria de m x m , D es una matriz diagonal de m x n y Q es una matriz unitaria de n x n.
Demostración:
1) La matriz [pic] es una matriz hermitiana de n x n.
2) De [pic] concluimosque[pic] es una matriz semidefinida
positiva.
3) De 2) los valores propios de [pic] son no negativos. Estos valores propios , contando multiplicidad, los anotamos ordenadamente como [pic]. Además, la lista esta ordenada de modo que los primeros r valores propios [pic]son positivos y los restantes n-r valores propios[pic] son cero.
4) Sea [pic] un conjunto ortonormal de vectorespropios de [pic], así
[pic].
5) De 4) concluimos que[pic].
6) Además [pic]rango([pic])[pic] min[pic].
7) (DEFINICION DE Q)
Formamos la matriz Q de n x n cuyas filas son [pic] y definimos

[pic] para [pic].
Estos vectores son ortonormales ya que para[pic] se tiene

[pic][pic][pic]=[pic].8) Completamos los r vectores definidos en 7) de modo que[pic]sea una base ortonormal de[pic].

9) (DEFINICION DE P)

Sea P la matriz de m x m con columnas [pic].

10) (DEFINICION DE D)

Sea D la matriz de m x n que tiene como elementos [pic]en la diagonal
y ceros en los lugares restantes.

[pic]
11) Con las notaciones anteriores se tiene [pic].Para demostrar esto vamos a demostrar que [pic].
En efecto,
[pic]

Ejemplo 1.
Dada la matriz [pic]tenemos que [pic] así[pic],[pic],[pic],[pic]. Siguiendo la demostración del teorema formamos las matrices [pic] , [pic], [pic]luego [pic], luego Se puede verificar que otra descomposición de A es
[pic]=[pic][pic][pic].

Ejemplo 4:

Con[pic] obtenemos[pic] y

hacemos[pic],[pic],[pic]. (Hay otras elecciones).
Eligiendo vectores propios y formando Q ( entre otras posibles elecciones)
[pic]

Y [pic],[pic]. elegimos arbitrariamente[pic] y [pic] así

[pic]=[pic]

DEFINICION (SEUDOINVERSA)

Dada la matriz diagonal, [pic] de m x n su seudoinversa es la matriz diagonal [pic]de n x m,[pic]
.
La seudo inversa de una matriz general A se define una vez que se tiene la descomposición en valores singulares:

[pic] tiene la inversa generalizada [pic].

Ejemplos a) Del ejemplo 1 [pic] se obtiene [pic].
b) Del ejemplo 2 se obtiene

[pic]=[pic]=

[pic] = [pic].

SISTEMA INCONSISTENTES Y SISTEMAS INDETERMINADOS.

Paraun sistema [pic] donde A es de m x n , x es de n x 1 y b de m x1 definimos la solución mínima del sistema de la siguiente modo:

a) Si el sistema es consistente y tiene solución única x , la solución mínima es x.

b) Si el sistema es consistente y tiene un conjunto de soluciones, la solución mínima es el elemento que tiene la menor norma euclidiana.

c) Si el sistema es inconsistentey tiene solución única x en mínimos cuadrados, la solución mínima es x.

d) Si el sistema es inconsistente y tiene un conjunto de soluciones en mínimos cuadrados, la solución mínima es el elemento que tiene la menor norma euclidiana.

Una definición equivalente es la siguiente.

Sea [pic]entonces la solución mínima de la ecuación [pic] es el elemento del conjunto[pic]que tiene lamenor norma.
Con [pic] se tienen los casos a) y b).
Con [pic] se tienen los casos c) y d).

TEOREMA.

La solución mínima de la ecuación [pic] viene dada por [pic] donde [pic] es la seudoinversa de A.
Demostración:
1) Sea [pic] una descomposición en valores singulares de A.
2) Sean [pic] y [pic].
3) Q de n x n es...
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