Despeje De Ecuaciones Incompletas

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Método de despeje
Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x2 + 1 = 50 Ejemplo 1

• Como se trata de una ecuación incompleta, que carece del término lineal, (b = 0) podemos resolverla fácilmente conun despeje: x2 + 1 x2 x2

= 50 = 50 − 1 = 49

• Ahora observa que tenemos una ecuación equivalente a la inicial. • Esta ecuación en palabras nos está diciendo: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 49. ¿Qué número pensé?» • Obviamente, pudo haber pensado el número 7. • Pero también es posible que haya pensado el número −7, porque: (−7)2 = 49. • Entonces, las soluciones de laecuación son: x = 7, y x = −7. • Verificación: x2 + 1 = 50 x2 + 1 = 50

⇒ ⇒

(7)2 + 1 = 50 (−7)2 + 1 = 50

Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática: 4 x2 = 100 Ejemplo 2

• En este caso, de nuevo, no aparece de nuevo el término lineal. • Para simplificar la ecuación dividimos ambos lados de la igualdad entre 4, y obtenemos: x2 = 25 • Ahora traducimos a palabras laecuación: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y obtuve 25. ¿Qué número pensé?» • Pues bien pudo pensar el número 5, como pudo pensar el número −5.
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• Como siempre aparecen dos casos, uno positivo y otro negativo, vamos a hacer el despeje de la siguiente forma: x2

= 25 √ x = ± 25 x = ±5

• Y entenderemos por elsímbolo ± que hay dos soluciones, el primero cuando consideramos el signo + y el segundo cuando consideramos el signo −. • Ahora verificamos que la solución sea correcta:

4 x2 = 100 4 x2 = 100

⇒ ⇒

4 (5)2 = 100 4 (−5)2 = 100

Ahora solamente vamos a hacer el despeje cuando encontremos una ecuación cuadrática sin término lineal. Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática: Ejemplo3 3 x2 + 3 = 30

• De nuevo, se trata de una ecuación cuadrática incompleta. • Vamos a despejar la incógnita: x 3 x2 + 3 3x
2

x2

= 30 = 30 − 3 = 27 27 =9 = 3

• Ahora sabemos que pensó alguno de los dos números, x = ±3. • Porque al hacer el despeje: x2

= 9 √ x = ± 9 x = ±3

• Verificación: 3 x2 + 3 = 30 3 x2 + 3 = 30 3 (3)2 + 3 = 30 3 (−3)2 + 3 = 30

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Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x2 + 3 =1 4 Ejemplo 4

• Empezamos haciendo el despeje de la literal: x2 x

= 1− = ±

3 1 = 4 4 1 4

• Ahora aplicamos las leyes de los exponentes y de los radicales: x x

= ± = ±
1 2

1 =± 4

1 4

1/2

√ (1)1/2 1 = ± 1/2 = ± √ (4) 4

• Y las soluciones son: x = •Verificación:

1 1 ,yx=− . 2 2

x2 + x2 +

3 =1 4 3 =1 4

⇒ ⇒

1 2

2

+
1 2
2

3 =1 4

−

+

3 =1 4

Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática: x2 + 5 = 12 Ejemplo 5

• Despejando la literal x obtenemos: x2 + 5
2

= 12 x = 12 − 5 = 7 √ x = ± 7 √ √
Observa que: √ √ − 7 = −7

• Lo cual nos indica que las soluciones de la ecuación son x = • Verificación:7, y x = − 7.

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x2 + 5 = 12 x2 + 5 = 12

⇒ ⇒

√ ( 7)2 + 5 = 12 √ (− 7)2 + 5 = 12

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: Ejemplo 6 x2 + 12 = 5

• Hacemos el despeje: x2 + 12 x
2

x2

= 5 = 5 − 12 = −7 = −7

• Ahora vamos a traducir lo que esta última igualdad nos dice en palabras: «Pensé un número, lomultipliqué por sí mismo y obtuve −7». • Pero al multiplicar un número positivo por sí mismo obtenemos un numero positivo, • Por otra parte, cuando multiplicamos un número negativo por sí mismo, también obtenemos un resultado positivo. • Lo que esto nos indica es que no hay algún número real que al multiplicarse por sí mismo nos dé como resultado un número negativo. • Al terminar el despeje...