Determiantes

Determinantes
1.- Historia de los determinantes. 2.- Determinante de 2 x 2. 3.- Determinante de 3 x 3. 3.1.- Otro método de obtener el determinante de 3 x 3. 4.- Definición del menor de una matriz. 4.1.- Definición del Cofactor de una matriz. 5.- Determinante de n x n. 6.- Determinante de una matriz triangular. 7.- Propiedades de loa determinantes. 8.- Determinantes e Inversas. 9.- Regla deCramer

1.- Historia de los determinantes Algunos grandes matemáticos del siglo XVIII y XIX participaron en el desarrollo de las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores cree que la teoría de los determinantes encuentra su origen en el matemático alemán Gottfried Willhelm Leibniz (1646 – 1716), quien junto con Newton, fue inventor del calculo. Quien contribuyo de manera masimportante en la teoría de los determinantes fue el matemático francés Auguntin-Louis Cauchy (1789 – 1857), quien redacto una memoria que contenía la primera prueba del teorema det AB = det A det B. La expansión de un determinante por cofactores fue utilizada por primera nez por un matemático francés, Pierre- Simon Laplace (1749 – 1827). Una aportación importante a la teoría de determinantes(después de Cauchy) fue la del matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804 – 1851). Fue con el que la palabra “Determinante” gano su aceptación final.

2.- Determinante de 2 x 2. a11 a12 Sea A = b21 b22 una matriz de 2 x 2. Se define el determinante de A por

det A = a11a22 – a12a21

(1)

Con frecuencia se denotara det A por

a11 a12 |A|
o (2)

b21 b22

El determinante de una matriz den x n se definirá de manera inductiva. En otras palabras, se usara lo que se sabe sobre un determinante de 2 x 2 para definir un determinante de 3 x 3, esto a su vez se usara para definir un determinante de 4 x 4, etc.

3.- Determinante de 3 x 3. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Sea A =

a22
• Se elimina el primer renglón y la primer columna quedando multiplicado por el termino a11.a23 a33 a23 a33 a22 a32

a32 a21

•

Se elimina el primer renglón y la segunda columna quedando

multiplicado por el termino a12.

a31 a21

•

Se elimina el primer renglón y la tercer columna quedando

multiplicado por el termino a13.

a31

•

Los productos que se obtienen se suman, recordando alternar los signos (+) y (–).

a22 a23 det A = |A| = a11 a32 a33 – a12

a21a23 + a13 a31 a33

a21 a22 (3) a31 a32

3.1.- Otro método con el que se pude calcular el determinante de 3 x 3.

Se tiene

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31)

es decir |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a32a33

(4)

Para la obtención de la ecuación (4) se escribe A y se leadjuntan sus primeras dos columnas:

–

–

–

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a11 a21 a31
+

a12 a22 a32
+ +

A continuación se calculan los seis productos, poniendo signo menos antes de los productos con flecha hacia arriba, y se suman todos. Esto da la suma de la ecuación (4).

El método anterior no funciona para determinantes de n x n si n > 3. Si intenta algosimilar para determinantes de 4 x 4 o de orden superior, obtendrá una respuesta equivocada.

Otra forma de expresar el determinante de A es: det A = |A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 (5)

Donde A11 = det M11, A12 = – det M12 y A13 = det M13.

4.- Definición del menor de una matriz Sea A una matriz de n x n y sea Mij la matriz de (n – 1) x (n – 1) que se obtiene de A eliminando el renglón i y lacolumna j. Mij se llama el menor ij de A.

4.1.- Definición de Cofactor de una matriz Sea A una matriz de n x n. El cofactor ij de A, denominado por Aij, está dado por

Aij = (– 1)i + j |Mij|
Esto es, el cofactor ij de A se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicándolo por (– 1)i + j. Observe que 1 (– 1)i + j = – 1 si i + j es impar si i + j es par

(6)

5.- Determinante...