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DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Es de interés considerar experimentos aleatorios a los cuales se les asignan dos variables aleatorias de entrada, relacionadas o no, que permiten definir las Distribuciones de Probabilidad Bidimensionales o Bivariadas

Variable Aleatoria Bidimensional
Definición: Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio dado. Sean X = X(s) y Y = Y(s) dosfunciones que asignan un número real a cada resultado sS. Llamaremos a (X,Y) variable aleatoria bidimensional –vab-.
Simbólicamente tenemos




Observaciones
1. Interesan más que la naturaleza de las funciones X y Y los valores que asumen así:
(X[s], Y[s]) (X,Y)
2. El recorrido de la v a b (X,Y) es R
3. P (X[s] a, Y[s] b) P (X a, Y b)
4. (X,Y) es
(X,Y) puede ser vabmixta, o sea, continua y discreta por tramos.



Función De Probabilidad Conjunta Bivariada
Definición: La función que asocia a cada resultado (X, Y) R un numero real f(x,y) se denomina función de probabilidad conjunta bivariada si:
1. f(x,y) 0 para todo (x,y)

2. 1 =

Observaciones


- El volumen acotado por la superficie z = f(x,y) y la región R vale 1
- La proyecciónde z = f(x,y) sobre el plano x,y es la región dominio R donde f(x, y)>0 así es claro que
0

Ejemplo
Si f(x, y) es una fdp divariada definida positivamente para todo (x,y)ЄR=[5,10]X[4,9] en la figura siguiente, Halle c y P(XY).

dxdy = 1 entonces = 1 C =

P(XY) = dxdy ó dydx
= dy ó dx
= ó
P(X) =
Obteniendo elmismo resultado.

Función De Probabilidad Acumulativa Bidimensional
Sea (X,Y) una v a b con fdp f(x,y), entonces su función de distribución acumulada es:
F (X,Y) = P (Xx, Yy)

Observación
Asi como = f(x) para X v a c unidimensional se tiene que = f(x,y) donde quiera que F(x,y) es diferenciable.
Distribución Uniforme Bivariada
Decimos que (X,Y) v a b se distribuye uniformemente en Rsi

f(x,y) =

Es claro que: K es el número finito de puntos de R si (X, Y) es una v a b discreta
ó K es el inverso del área finita de la región R si (X, Y) es una vab continua
Ejercicio
Sea R = {(x,y) : 0 x 1 x2 y x } si f(x,y) es una fdp uniforme bidimensional definida en R. Halle f y pruebe que:

a. dy = g(x) = 6 (x-x2), 0 x 1b. dx = h(y) = 6 (- y ), 0 y 1
¿Cómo es la gráfica de f, g y h?

Función De Probabilidad Marginal
En el ejercicio anterior a g(x) y h(y) se les denomina fdp marginales de las vac unidimensionales X y Y, diremos en general que si f(x,y) es la fdp conjunta de una vac bibimensional (x,y) entonces

g(x) = dy y h(y) = dx
son la fdp marginales de las va unidimensionales x y y.

AsiP (c x d) = P (c x d, - Y )
= dydx = dx
Ejercicio
Sea f(x,y) = 2 (x+y-2xy) 0 x 1, 0 y 1. Halle las fdp marginales de las vac X y Y, y pruebe que son fdp.

En efecto

Ejercicio
Sea f(x,y) = x2 + 0 x 1, 0 y 2.
Grafique la región R donde f es positiva, demuestre que f es una fdp, pruebe que P (X + Y 1) = y halle las fdp marginales de X y Y.

Funciones DeProbabilidad Condicional
Sea (X,Y) una v a b c con una fdp conjunta f. Sean g(x) y h(y) las fdp marginales de las v a c X y Y entonces las fdp condicionales de X dado Y = y, y de Y dado X = x
Son
g(x/y) = , h(y) > 0
h(y/x) = , g(x) > 0

Observe que:
1. dx = dy = 1
es decir g y h marginales son fdp.
2. g(x/y) es la intercepción de f con el plano Y=C. Observe que lagráfica siguiente


Funciones De Probabilidad Bivariada Discreta
Basta, por analogía sustituir, en las definiciones del caso bidimensional continuo las integrales por sumatorias.

Ejemplo
Supóngase una fdp conjunta bivariada que asume valores de probabilidad conjunta según la siguiente tabla:


X1=2
X2=3
X3=4
X4=5
X5=6

Y1=2
1
2
3
0
1
7
Y2=3
4
1
4
2
0
11
Y3=4
3
2
1
0...