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Función real
Una función real  es una función matemática cuyo dominio y codominio están contenidos en , es decir, es una función:

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas.

Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x oen una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahorasi los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)




d = 5unidades

- Propiedades de la Distancia entre 2 Puntos
Distancia positiva:
Calculemos la distancia d(A,B) dados los puntos A y B de la recta !, de coordenadas 2 y 6 respectivamente.
La distancia (d) entre 2 y 6 es 4, independientemente de que se mida de derecha a izquierda o viceversa.
La distancia entre 2 puntos de una recta es siempre un numero positivo; es decir, d(A, B) " 0.
Distanciacero en puntos coincidentes:
Al calcular la distancia entre los puntos R de coordenada 5 y Q de coordenada 5, observamos que la distancia es igual a Cero.
La distancia entre dos puntos es cero, si y solo si dichos puntos coinciden; es decir, d(Q, R)= 0 Q = R
Desigualdad triangular:
Dados los puntos P, Q, R pertenecientes a la recta r, cuando R es mayor que P y Q, siempre se cumplirá losiguiente:
d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)
Cuando R está entre P y Q, siempre se cumplirá que:
d(P, R) < d(P, Q) + d(Q, R)
Dados tres puntos A, B, C sobre la recta real, se cumple que:
d(A, B) " d(A, C) + d(C,B)
10).- Intervalos Reales
Los números que están ordenados en forma creciente o decreciente pueden agruparse en conjuntos. En el caso de los números reales se hace necesario crear subconjuntosque llamaremos intervalos, los cuales pueden agruparse de varias formas.
Tipos de intervalos reales:
Intervalo cerrado
Dada la recta ! y dos números a y b en ella, el intervalo cerrado de extremos a y b está formado por todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores que b, con a y b incluidos; lo denotamos asi: [a,b].
[a,b] = {x R a " x " b}
Intervalo abierto
Dada la recta! y dos números a y b en ella, el intervalo abierto de extremos a,b está formado por todos los números reales que son mayores que a y menores que b, sin incluir ni a ni b, y lo denotamos así: (a,b)
(a,b) = {x R a < x < b}
Intervalo semiabierto a la izquierda
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo semiabierto a la izquierda de extremos a,b está formado por todos los númerosreales mayores que y menores e iguales que b; es decir, excluye a a e incluye a b. este intervalo se denota (a,b]
(a,b] = {x R a < x " b}
Intervalo semiabierto a la derecha
Dada la recta ! y los números a y b en ella, el intervalo a la derecha de extremos a,b esta formado por todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b, es decir, incluye a a y excluye a b. este intervalose denota [a,b).
[a,b) = {x R a " x < b}
Intervalo al infinito
Dada la recta ! y el número a, consideremos el conjunto de los números reales mayores o iguales que a. Al representar en la recta observamos que todos los números reales a la derecha de a pertenecen a este intervalo, por ello no podemos representarlo mediante un segmento. Representamos mediante una semirrecta de origen a y extremo...