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Ecuaciones diferenciales. Una introducci´n para el curso de
o
C´lculo I y II.
a
Eleonora Catsigeras

*

23 de julio de 2007

Notas para el curso de C´lculo II
a
de la Facultad de Ingenier´
ıa.

1.

Definici´n y ejemplos de ecuaci´n diferencial.
o
o

Una ecuaci´n diferencial ordinaria es una igualdad en que:
o
* La inc´gnita es una funci´n desconocida y = f (x) definida yderivable hasta orden k para
o
o
todo x ∈ R o para todo x en un intervalo abierto de reales. (El objetivo es hallar esa funci´n; la
o
´ DESCONOCIDA, la inc´gnita de una ecuaci´n diferencial no es un
inc´gnita es ESA FUNCION
o
o
o
n´mero real, sino una funci´n).
u
o
* Aparece en la ecuaci´n alguna de las derivadas de la funci´n desconocida y = f (x): la
o
o
derivada primera y = f (x),y/o la derivada segunda y = f (x), hasta la derivada de orden k de
f (x).
Se llama ecuaci´n diferencial de orden 1 si la unica derivada de la funci´n desconocida que
o
´
o
aparece es la derivada primera. Se llama ecuaci´n diferencial de orden 2, si la derivada de mayor
o
orden que aparece de la funci´n desconocida es 2. Se llama ecuaci´n diferencial de orden 3, si la
o
o
derivada demayor orden que aparece de la funci´n desconocida es 3. Y as´ sucesivamente. Por
o
ı
ejemplo:
y + y + ex y = 4 cos x es una ecuaci´n diferencial de orden 3 (no importa que no aparezca
o
la derivada primera, as´ como tampoco importar´ que no aparezca la derivada segunda. Es de
ı
ıa
orden 3 porque la derivada de mayor orden que aparece de la funci´n desconocida es de orden 3).
o
Ejemplo 1.1.f = (cos x)f , o lo que es lo mismo y = (cos x)y es una ecuaci´n diferencial de
o
primer orden.
La funci´n inc´gnita es y = f (x) que verifica la igualdad para todo x en un intervalo de reales
o
o
(el intervalo de reales puede ser un segmento abierto, una semirrecta abierta, o todo el eje real). Se
llama soluci´n de la ecuaci´n diferencial, y es desconocida. Debe tener derivadas hasta elorden en
o
o
que aparezca en la ecuaci´n diferencial, por lo tanto en particular es CONTINUA Y DERIVABLE
o
UNA VEZ POR LO MENOS en el intervalo donde verifica la ecuaci´n diferencial.
o
*
Instituto de Matem´tica y Estad´
a
ıstica Rafael Laguardia (IMERL), Fac. Ingenieria. Universidad de la Rep´blica.
u
Uruguay. Address: Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay.

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EcuacionesDiferenciales.

Eleonora Catsigeras.

23 Julio 2007.

La ecuaci´n diferencial del ejemplo 1.1 tiene como soluci´n: y = esen x , pues para todo x ∈ R
o
o
se cumple (esen x ) = (cos x)(esen x ); es decir: en la ecuaci´n diferencial dada y = (cos x)y , si se
o
sustituye y por la soluci´n y = esen x , entonces la igualdad dada se convierte en una identidad
o
para todo x ∈ R.
Esasustituci´n de la soluci´n (en donde aparece f o en donde aparece y en la ecuaci´n
o
o
o
diferencial escribir la funci´n soluci´n), que convierte la ecuaci´n dada en una identidad para
o
o
o
todo x ∈ R, se llama ”verificaci´n”de la ecuaci´n diferencial.
o
o
En estas notas veremos c´mo resolver (encontrar todas las funciones soluciones) algunas ecuao
ciones diferenciales muy particulares (y muypocas) de primer y segundo orden. Siempre que uno
aplique m´todos de resoluci´n de una ecuaci´n diferencial, despu´s de encontrar la o las funcioe
o
o
e
nes soluci´n (puede haber m´s de una funci´n soluci´n, incluso infinitas funciones soluciones), es
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a
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conveniente verificar que la funci´n soluci´n efectivamente lo sea; es decir que verifica la ecuaci´n
o
o
o
diferencial,sustituyendo la funci´n soluci´n en la ecuaci´n dada y comprobando que la transforma
o
o
o
en una identidad PARA TODO x ∈ R (o por lo menos para todo x en alg´n intervalo abierto del
u
eje real.)
Otra soluci´n de la ecuaci´n diferencial del ejemplo 1.1 es la funci´n: y = 0 constante, funci´n
o
o
o
o
id´nticamente nula (verif´
e
ıquese que es soluci´n pues 0 ≡ (cos x) · 0 para todo x ∈ R)....