Dialnet ElPrincipioDelMaximo 2750328

REVISTA SIGMA
´
Departamento de Matematicas

Universidad de Nari˜no

Volumen VIII (2008), p´aginas 28-34

El Principio del M´
aximo
Miller Cer´on G´omez1
Abstract. This article introduce the basic definition of maximun principle, it’s aplicability
to the differential equations, In particular, the lineal ordinary differential equations of second
order and the parabolic lineal differential equationnamed heat equation, moreover we probe
this principle in known way but using a auxiliary diferent function
Keywords. Differential operator, differential inequality, boundary value problem
Resumen. En ´este art´ıculo presentamos la definici´on b´asica del principio del m´aximo, su
aplicabilidad a las ecuaciones diferenciales, en particular a las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias desegundo orden y la ecuaci´
on diferencial lineal parcial parab´
olica llamada
ecuaci´
on del calor, adem´
as mostraremos ´este principio en su forma m´
as conocida utilizando
una funci´
on auxiliar diferente.
Palabras Clave. Operador diferencial, desigualdad diferencial, problema de valores en la
frontera

Introducci´
on
El principio del m´aximo es una de las herramientas m´as utiles en el estudio delas ecuaciones
diferenciales debido a que nos permite obtener informaci´on de la soluci´on de una ecuaci´
on
diferencial sin conocerla explicitamente; por ejemplo, obtener la unicidad de ´estas soluciones
y obtener cotas o aproximaciones de soluciones. Este principio no es m´as que la generalizaci´
on del siguiente hecho elemental del c´
alculo: Dada cualquier funci´
on f la cual satisface ladesigualdad f ′′ > 0 sobre un intervalo (a, b) que alcanza su valor m´aximo en los extremos
del intervalo, o de forma m´as general diremos que una funci´
on f sartisface o cumple con
el principio del m´aximo o tiene la propiedad del m´aximo si ´esta satisface una desigualdad
diferencial en un dominio D y alcanza su m´aximo en la frontera de D.
El principio del m´aximo aparece de diferentes formas ycon numerosas aplicaciones a las
ecuaciones diferenciales, aqui s´olo lo aplicaremos a las ecuaciones direnciales ordinarias
lineales de segundo orden y las ecuaciones diferenciales lineales parciales parab´olicas.

1 Profesor

Tiempo Completo Ocasional Universidad de Nari˜
no Pasto-Nari˜
no- Colombia

28

1.

Principio del M´
aximo en una Dimensi´
on

Una funci´
on u(x) que satisface ladesigualdad diferencial en un intervalo abierto (a, b)
L(u) ≡ u′′ + g(x)u′ > 0, para x ∈ (a, b)

(1.1)

donde g(x) es una funci´
on acotada, no puede alcanzar su valor m´aximo en un punto interior
al intervalo [a, b], es decir si (1.1) se cumple entonces la funci´
on u alcanza su m´aximo en los
extremos del intervalo. Esto es f´acil de probar, pues si suponemos que la funci´
on u alcanza
su valor m´aximo enun punto c ∈ (a, b), entonces del c´
alculo elemental tenemos que:
u′ (c) = 0 y

u′′ (c) ≤ 0

(1.2)

pero entonces no cumplir´ıa la desigualdad (1.1). Con base en la anterior observaci´
on probaremos el siguiente Teorema:
Teorema 1.1. Supongamos que u = u(x) es una funci´
on no constante la cual satisface la
desigualdad differential L(u) ≡ u′′ + g(x)u′ ≥ 0 en (a, b) y tiene derivadas laterales ena y
en b, y supongamos adem´
as que g es una funci´
on acotada en cada subintervalo cerrado de
(a, b).
a.) Si el m´
aximo de u se alcanza en un punto x = a y g est´
a acotada a la izquierda de
x = a, entonces u′ (a) < 0.
b.) Si el m´
aximo de u se alcanza en un punto x = b y g est´
a acotada a la derecha de x = b,
entonces u′ (b) > 0.
Demostraci´
on. Supongamos que u(a) = M y u(x) ≤ M para a ≤ x≤ b y que adem´as existe
un punto d en (a, b) para el cual se tiene que u(d) < M . Sea z la funci´
on auxiliar definida
de la siguiente manera:
z(x) = (x − a + 1)α , con α > 0.
Escojamos α de tal manera que α > 1 − g(x)(x − a + 1) para a ≤ x ≤ d, de ello se tiene
que L(z) > 0 para a ≤ x ≤ d como se puede comprobar trivialmente. Observe que siempre
podemos escoger α porque g(x) es acotada en cada...