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Definición general[editar]
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar unaforma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión:


\begin{array}{rrcl}
\langle \cdot,\cdot \rangle : & \; V \times V & \longrightarrow &\mathbb{K} \\
& (x,y) & \longrightarrow & a = \langle x, y \rangle
\end{array}
donde V \; es un espacio vectorial y \mathbb{K} es el cuerpo sobreel que está definido V \; . La función \langle \cdot,\cdot \rangle (que toma como argumentos dos elementos de V \; , y devuelve un elemento del cuerpo \mathbb{K}) debe satisfacer las siguientescondiciones:

Linealidad por la izquierda: \langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle , y linealidad conjugada por la derecha: \langle x, ay+bz \rangle = \overline{a}\langle x, y \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle
Hermiticidad: \langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle} ,
Definida positiva: \langle x,x \rangle \geq 0 \,, y \langle x,x \rangle= 0 \, si y sólo si x = 0,
donde x, y, z \in V son vectores de V, a, b \in \mathbb{K} representan escalares del cuerpo \mathbb{K} y \overline{c} es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tieneparte imaginaria nula (v.g., \mathbb{R}), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por:\begin{array}{rrcl}
\bullet : & \; V \times V & \longrightarrow & \mathbb{K} \\
& (x,y) & \longrightarrow & a = x \bullet y
\end{array}
Un espacio vectorialsobre el cuerpo \mathbb{R} o \mathbb{C} dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. Si la...