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Tema 5

Variable Aleatoria
Bidimensional

(c) Inmaculada Luengo

Tema 5. V. a. bidimensional

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V.a. bidimensional
Sea (Ω,A, P) un espacio probabilístico. Una variable aleatoriabidimensional es una función medible que a cada suceso elemental
ω hace corresponder dos números reales (X(ω), Y(ω)).
( X ,Y )

Ω → R2
ω a ( X (ω ),Y (ω ))
Cada una de la proyecciones es a su vez unavariable aleatoria.
Atendiendo al recorrido se clasifican en
Discretas: si X e Y son discretas.
Continuas: si X e Y son continuas.
Mixtas: si una es discreta y la otra continua.
(c) InmaculadaLuengo

Tema 5. V.a. bidimensional

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1

V.a. bidimensional discreta
Una v.a. bidimensional discreta (X,Y) queda caracterizada por la función
de probabilidad conjunta

P ( X = x i ,Y = y j) = pij
siendo

i) pij ≥ 0, ∀i , j

∑∑ p

ii)

ij

i

=1

j

Función de distribución acumulada

F (u ,v ) = P ( X ≤ u ,Y ≤ v ) =

∑ ∑p

xi ≤u y j ≤v

(c) Inmaculada Luengoij

Tema 5. V.a. bidimensional

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V.a. bidimensional discreta
A partir de la función de probabilidad conjunta podemos obtener las
funciones de probabilidad de cada una de las variables X e Y.Funciones de probabilidad marginales

P ( X = xi ) = ∑ P ( X = xi ,Y = y j ) =∑ pij = pi •
j

j

P (Y = y j ) = ∑ P ( X = x i ,Y = y j ) =∑ pij = p• j
i

i

Funciones de probabilidadcondicionada

P ( X = x i ,Y = y j ) pij
=
P (Y = y j )
p• j
P ( X = x i ,Y = y j ) pij
P (Y = y j X = x i ) =
=
P ( X = xi )
pi •

P (X = x i Y = y j ) =

(c) Inmaculada Luengo

Tema 5.V.a. bidimensional

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2

V. a. bidimensional continua
Una v.a. bidimensional continua (X,Y) queda caracterizada por la función
de densidad conjunta f(x,y), que toma valores en R y que debecumplir

i) f ( x , y ) ≥ 0
La gráfica de la función está toda por la parte positiva del plano xy

ii)

∫ ∫ f (x , y )dx dy = 1
R2

El volumen comprendido entre la gráfica y el plano xy es...