Dinamica Aplicada

5.1 Vibración forzada sin amortiguamiento. 5.2 Función de Transferencia Sinusoidal. 5.3 Obtención de la salida permanente de un sistema con entrada sinusoidal con amortiguamiento.

5.4 Vibración debida al Desbalanceo en la rotación. 5.5 Transmisibilidad 5.6 Instrumentos medidores de vibraciones

Vibración Forzada sin amortiguamiento

mx  kx  Psent
Psen(wt)

P X ( s)  k 2 2  2ms   s   m 
P m k P k x(t )  sent  sen t 2 2  k  m   k  m  m

Vibración forzada sin amortiguamiento
P m k P k x(t )  sent  sen t 2 2  k  m   k  m  m



Si la respuesta armónica del sistema (solución particular) está en fase con la fuerza externa. Conforme 0, la amplitud de la respuesta se aproxima a P/k llamada deformación estática.



k m

Vibración forzada sin amortiguamiento
P m k P k x(t )  sent  sen t 2 2  k  m   k  m  m


Si la solución particular de la vibración estará desfasada 180º de la frecuencia de excitación. Si la amplitud de la respuesta es infinita. A esta condición, en la cual al frecuencia forzada es igual a la frecuencia natural del sistema se llama resonancia.

k m



k m



Funciónde Transferencia Sinusoidal.

Respuesta en frecuencia de estado estable.
Para un sistema lineal estable sujeto a una entrada sinusoidal, la respuesta de estado estable, tendrá una salida sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada.
Su amplitud es dada por el producto de la amplitud de la entrada y |G(j)|. El ángulo de fase difiere de la entrada en  = G(j) Si la entrada es Psent, lasalida es:

x(t )  G( j ) Psen t  G( j ) 

Respuesta en frecuencia para sistemas amortiguados de segundo orden


La ecuación que modela el sistema:

Psent


mx  bx  kx  Psent
Por lo que la función de transferencia es:



Evaluada en j:

1 G( s)  2 ms  bs  k

G( j ) 

k  m 2   b j 

1

Respuesta en frecuencia para sistemas amortiguados desegundo orden


En forma polar:
G ( j )  10º

 k  m

2 2



 b   b 2 2 tg 1  2   k  m 

G ( j ) 

 b    tg 1   k  m 2  2 2 2 2   k  m   b  1



La respuesta es entonces
 b   1  x(t )  sen  t  tg  2  2 2 2 2  k  m    k  m   b   P

Respuesta en frecuencia para sistemas amortiguados de segundo orden

x(t )   b   sen  t  tg 1   k  m 2   2 2 2 2    k  m   b   P



En términos del factor de amortiguamiento y la frecuencia natural       2   n   P/k 1  x(t )  sen  t  tg  2  2 2 2        1       1       2          n     n    n    

Ejemplo 5


Considere el sistema vibratorio mecánico mostrado. Asumaque el desplazamiento x es medido desde la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación. Las condiciones iniciales de velocidad y aceleración son 0, y la fuerza es aplicada en t=0. Asuma que m=2 kg, b= 24 Ns/m, k= 200 N/m, P= 5 N y  = 6 rad/s. Obtenga la solución de estado estable x(t).
G( j ) 
G( j ) 

1 1  (200  2*36)  24*6 j 128  144 j
1

 144    tg 1   0.0052  48.37º 2 2  128  128  144

x(t )  0.026sen  6t  48.37º 

Vibración debida al Desbalanceo en la rotación.
El

desbalance en máquinas rotatorias es la principal causa de la vibración. La masa total de la máquina es M e incluye la masa desbalanceada m. La masa desbalanceada produce una fuerza centrípeta mr2. La componente vertical de esta fuerza está dada por mr2sentVibración debida al Desbalanceo en la rotación.


El modelo de este sistema es:

Mx  bx  kx  mr 2 sent




Usando función de transferencia sinusoidal la respuesta es:       2  2  n   m r / k 1  x(t )  sen  t  tg  2  2 2 2        1       1       2          n     n    n     El movimiento resultante es...