DINAMICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA Ecuac

En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido, aparecen a menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la masa del elemento o, más frecuentemente, de momento de inercia del elemento. Así pues, el momento de inercia de un elemento de masarespecto al eje representado en la figura 10-24 es, por definición:

El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje 00 es, por definición:

Como tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas, el momento de inercia de una masa será siempre positivo.
Los momentos de inercia tienen las dimensiones de una masa multiplicadas por las del cuadrado deuna distancia, . Su unidad de medida será, en el sistema SI, el . En el U.S. Customary system, las magnitudes fundamentales son fuerza, longitud y tiempo y la masa tiene por dimensiones . Por tanto, el momento de inercia tendrá por unidad la . Si la masa del cuerpo se expresara en la unidad de medida del momento de inercia en el U.S. Customary system sería el .
Los momentos de inercia de uncuerpo respecto a los ejes de coordenadas de un sistema se pueden determinar considerando un elemento de masa como el representado en la figura 10.25. Por la definición de momento de inercia,

Para el eje y el eje se pueden escribir expresiones análogas. Así pues,



Radio de giro
La definición de momento de inercia (ec. 10.20) indica que las dimensiones del momento de inercia son las de una masamultiplicada por el cuadrado de una longitud. En consecuencia, el momento de inercia de un cuerpo puede expresarse mediante el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de una longitud . A esta longitud se le da el nombre de del cuerpo. Así pues, el momento de inercia de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma

El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto aun eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real (o distribuida).
Donde:
m: masa total del cuerpo rígido.
I: momento de inercia

El radio de giro de masa es muy parecido al radio de giro de superficie. El radio de giro de masa no es la distanciaal eje dado de ningún punto fijo del cuerpo tal como el centro de masa, El radio de giro de masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es siempre mayor que la distancia al eje del centro de masa del cuerpo. No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es más que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en función de su masa y unalongitud.
Teorema de Steiner para momentos de inercia
El teorema de Steiner para momentos de inercia es muy parecido al correspondiente a momentos segundos de superficie. Considérese el cuerpo representado en la figura 10.26, en cuyo centro de masa G se toma el origen del sistema de coordenadas y considérese también un sistema de coordenadas de origen en el punto y ejes paralelos a los am tenores. Enla figura se observa que



La distancia que separa los ejes y es







El momento de inercia del cuerpo respecto al eje x’, paralelo al eje x que pasa por el centro de masa es, por definición,


Ahora bien,

y como los ejes y pasan por el centro de masa G del cuerpo,


Por tanto,



Las ecuaciones (10.23) constituyen el teorema de Steiner para momentos de inercia. El subíndice Gindica que el eje pasa por el centro de masa G del cuerpo. Así pues, si se conoce el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de masa, se podrá hallar el momento de inercia respecto a otro eje cualquiera paralelo a él, sin necesidad de integración, utilizando las ecuaciones 10.23.
Entre los radios de giro respecto a estos dos ejes existe una relación similar. Así,...