discontinuidad

Las funciones que no son continuas pueden presentar diferentes tipos de discontinuidades.
Para empezar definiremos función no continua como aquella que no cumple la definición de funcióncontinua, es decir, existe algún punto del dominio donde el límite de la función a ese punto no es igual al valor de ésta en el mismo punto:
f(x) no es continua si existe un x=a perteneciente al Dom(f) talque limx→a±f(x)≠f(a)
Veamos un ejemplo de función no continua:
Ejemplo
Tomemos la función f(x)={12 si  si x≤0x>0.
Esta función no es continua ya que en el punto x=0 observamos que:limx→0+f(x)=limx→02=2f(0)=1
y como el límite lateral por la derecha no coincide con el valor de la función, deducimos que la función no puede ser continua. Podemos ver la representación gráfica a continuación:Se tiene que tener en cuenta que se define una discontinuidad sobre puntos del dominio de una función. Si la función no estuviese definida en un punto, aunque tenga comportamiento parecido al deuna discontinuidad, no tendría ninguna, ya no se podría aplicar la definición de discontinuidad.
Discontinuidad evitable
Una discontinuidad evitable en un punto x=a es aquella en que los límiteslaterales coinciden, pero el valor de la función en el punto no, es decir:
limx→a−f(x)=limx→a+=Lf(a)≠L
Es razonable que llamen discontinuidad evitable a este tipo de discontinuidades ya que lafunción en el punto de discontinuidad parece que sea continua, pero el punto en concreto no existe, así que sólo añadiendo ese punto, lograríamos que la función fuera continua (se podría evitar ladiscontinuidad muy fácilmente).


Veamos un ejemplo:
Ejemplo
Tomemos la función
⎧⎩⎨⎪⎪x2−4x+20 si  si x≠−2x=−2
Podemos ver rápidamente que en el punto x=−2 puede que la función no conecte correctamente.Observemos pues la continuidad en ese punto:
limx→−2−f(x)=limx→−2−x2−4x+2=limx→−2−(x+2)(x−2)x+2=limx→−2−x−2=−4limx→−2+f(x)=limx→−2+x2−4x+2=limx→−2+(x+2)(x−2)x+2=limx→−2+x−2=−4f(−2)=0
Por...