Diseño 2^2
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Publicado: 26 de mayo de 2015
Diseño 22.
Es el tipo más sencillo de diseño experimental 2k. En este diseño se tienen dos factores A y B, cada uno con dos niveles. Lo usual es considerar estos niveles como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 22 se suele representar por un cuadrado como el que se ilustra en la Figura 6.1
A esta representación se le conoce como representación geométrica del diseño 22. Es estarepresentación, cada vértice del cuadrado corresponde a una combinación diferente de tratamientos (niveles) en el diseño factorial.
En la Figura 6.1 se aprecia una notación especial para etiquetar las combinaciones de tratamiento en el diseño 22. Esta notación de letras minúsculas se utiliza, en general, para todos los diseños 2k y se conoce como notación de Yates. Si una letra está presente, elfactor correspondiente se corre con el nivel alto en dicha combinación de tratamiento; si está ausente, el factor se corre con su nivel bajo.
Por ejemplo, la combinación de tratamiento a indica que el factor A está en el nivel alto, y el factor B en el nivel bajo. La combinación de tratamiento donde ambos factores tienen el nivel bajo está representado por (1). Esta notación se emplea en todas lasseries de diseños 2k.
Por ejemplo, la combinación de tratamiento en un diseño 24 con A y C en el nivel alto, y B y D en el nivel bajo, se denota por AC.
Los efectos de interés en el diseño 22 son los efectos principales A y B, y la interacción entre los dos factores AB. Si suponemos que las letras (1), a, b y ab representan los totales de todas las n observaciones tomadas en los puntos dediseño, es sencillo estimar los efectos de estos factores.
Para estimar el efecto principal de A, se promedian las observaciones del lado derecho del cuadrado de la Figura 6.1, donde A tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en el lado izquierdo del cuadrado, donde A tiene el nivel bajo, o
De igual forma, el efecto principal de B se obtiene al promediarlas observaciones de la parte superior del cuadrado, donde B tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en la parte inferior del cuadrado, donde B tiene el nivel bajo:
Finalmente, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios de la diagonal de la Figura 6.1, o
Debido a que la cantidad dentro de corchetes cuadrados en lasecuaciones (6-1), (6-2) y (6-3) aparece con frecuencia en los diseños 22, resulta conveniente hacer las siguientes definiciones:
ContrasteA
ContrasteB
ContrasteAB
La manera práctica de calcular los contrastes de cualquier efecto (principal o de interacción) es a partir de la tabla de signos. Esta tabla, para el diseño 22 se muestra a continuación:
A
B
AB
Notación de Yates.
-
-
+
(1)
+
-
-
a
-
++
b
+
+
-
ab
Observe que la tabla de signos que la interacción AB se obtiene multiplicando la columna con los signos de A por la columna con los signos de B y, el resultado son los signos del contraste AB. Para generar un contraste a partir de esta tabla, se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por las combinaciones de tratamientos que aparecen en la columna de notación deYates, y luego se suma. Por ejemplo, contrasteAB = [(1)] + [-a] + [-b] = ab + (1) – a – b. Los contrastes se emplean en el cálculo de las estimaciones de los efectos y en las sumas de cuadrados de A, B y la interacción AB. Las fórmulas para las sumas de cuadrados son:
Para los diseños 22, tal vez no se ve muy útil la tabla de signos. Sin embargo, en la medida que aumenta la cantidad defactores en el diseño 2k, la utilidad de la tabla de signos se hace más evidente (Luna, 2012).
El Análisis de Varianza para el diseño 22 se completa con la suma de cuadrados totales:
Y la suma de cuadrados de los errores que se obtiene por diferencia:
El ANOVA (análisis de la varianza) completo para el diseño 22 se muestra en la Tabla 6.1 a continuación:
Fuente de variación.
Suma de...
Es el tipo más sencillo de diseño experimental 2k. En este diseño se tienen dos factores A y B, cada uno con dos niveles. Lo usual es considerar estos niveles como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 22 se suele representar por un cuadrado como el que se ilustra en la Figura 6.1
A esta representación se le conoce como representación geométrica del diseño 22. Es estarepresentación, cada vértice del cuadrado corresponde a una combinación diferente de tratamientos (niveles) en el diseño factorial.
En la Figura 6.1 se aprecia una notación especial para etiquetar las combinaciones de tratamiento en el diseño 22. Esta notación de letras minúsculas se utiliza, en general, para todos los diseños 2k y se conoce como notación de Yates. Si una letra está presente, elfactor correspondiente se corre con el nivel alto en dicha combinación de tratamiento; si está ausente, el factor se corre con su nivel bajo.
Por ejemplo, la combinación de tratamiento a indica que el factor A está en el nivel alto, y el factor B en el nivel bajo. La combinación de tratamiento donde ambos factores tienen el nivel bajo está representado por (1). Esta notación se emplea en todas lasseries de diseños 2k.
Por ejemplo, la combinación de tratamiento en un diseño 24 con A y C en el nivel alto, y B y D en el nivel bajo, se denota por AC.
Los efectos de interés en el diseño 22 son los efectos principales A y B, y la interacción entre los dos factores AB. Si suponemos que las letras (1), a, b y ab representan los totales de todas las n observaciones tomadas en los puntos dediseño, es sencillo estimar los efectos de estos factores.
Para estimar el efecto principal de A, se promedian las observaciones del lado derecho del cuadrado de la Figura 6.1, donde A tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en el lado izquierdo del cuadrado, donde A tiene el nivel bajo, o
De igual forma, el efecto principal de B se obtiene al promediarlas observaciones de la parte superior del cuadrado, donde B tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en la parte inferior del cuadrado, donde B tiene el nivel bajo:
Finalmente, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios de la diagonal de la Figura 6.1, o
Debido a que la cantidad dentro de corchetes cuadrados en lasecuaciones (6-1), (6-2) y (6-3) aparece con frecuencia en los diseños 22, resulta conveniente hacer las siguientes definiciones:
ContrasteA
ContrasteB
ContrasteAB
La manera práctica de calcular los contrastes de cualquier efecto (principal o de interacción) es a partir de la tabla de signos. Esta tabla, para el diseño 22 se muestra a continuación:
A
B
AB
Notación de Yates.
-
-
+
(1)
+
-
-
a
-
++
b
+
+
-
ab
Observe que la tabla de signos que la interacción AB se obtiene multiplicando la columna con los signos de A por la columna con los signos de B y, el resultado son los signos del contraste AB. Para generar un contraste a partir de esta tabla, se multiplican los signos de la columna apropiada de la tabla por las combinaciones de tratamientos que aparecen en la columna de notación deYates, y luego se suma. Por ejemplo, contrasteAB = [(1)] + [-a] + [-b] = ab + (1) – a – b. Los contrastes se emplean en el cálculo de las estimaciones de los efectos y en las sumas de cuadrados de A, B y la interacción AB. Las fórmulas para las sumas de cuadrados son:
Para los diseños 22, tal vez no se ve muy útil la tabla de signos. Sin embargo, en la medida que aumenta la cantidad defactores en el diseño 2k, la utilidad de la tabla de signos se hace más evidente (Luna, 2012).
El Análisis de Varianza para el diseño 22 se completa con la suma de cuadrados totales:
Y la suma de cuadrados de los errores que se obtiene por diferencia:
El ANOVA (análisis de la varianza) completo para el diseño 22 se muestra en la Tabla 6.1 a continuación:
Fuente de variación.
Suma de...
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