diseño interior
Páginas: 9 (2250 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2013
OBJETIVO
Saber como aplicar o las aplicaciones que tiene la matemática con respecto a la arquitectura.
GEOMETRIA FRACTAL O DE LA NATURALEZA
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado ofracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamosdimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Esautosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de losfractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajesfractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Los ejemplos clásicos
Para encontrar los primeros ejemplos defractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.
sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podíanconstruirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó sutriángulo y, un año después, su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski:
El método de Newton
El método de Newton intenta encontrar por iteración las raíces de la función
F(Z)-1 = 0.
Se itera la función F(Z) con cada punto del plano complejo (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la convergencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn - F(Zn) / F’(Zn), en dondeF’(Z) es la derivada. Se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de convergencia, conceptualmente idéntico al de la velocidad de escape, y presenta similitudes con el método de Julia.
Ejemplos de fractales de tipo Newton, de algunas funciones de variable compleja:
Z4-1=0
Zn+1 = [(3 * Zn4 + 1) / (4 * Zn3)]
Z6 + Z3 - 1 = 0
SIN(Z)- 1 = 0
COSH(Z)- 1 = 0
1....
Saber como aplicar o las aplicaciones que tiene la matemática con respecto a la arquitectura.
GEOMETRIA FRACTAL O DE LA NATURALEZA
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.[1] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado ofracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamosdimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
Esautosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de losfractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajesfractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
Los ejemplos clásicos
Para encontrar los primeros ejemplos defractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto.
sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch
Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podíanconstruirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía al que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó sutriángulo y, un año después, su alfombra.
Construcción de la alfombra de Sierpinski:
El método de Newton
El método de Newton intenta encontrar por iteración las raíces de la función
F(Z)-1 = 0.
Se itera la función F(Z) con cada punto del plano complejo (x + iy), siendo Z=(x1 + iy1) hasta la convergencia de x1 i y1, según la siguiente fórmula: Zn+1 = Zn - F(Zn) / F’(Zn), en dondeF’(Z) es la derivada. Se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de convergencia, conceptualmente idéntico al de la velocidad de escape, y presenta similitudes con el método de Julia.
Ejemplos de fractales de tipo Newton, de algunas funciones de variable compleja:
Z4-1=0
Zn+1 = [(3 * Zn4 + 1) / (4 * Zn3)]
Z6 + Z3 - 1 = 0
SIN(Z)- 1 = 0
COSH(Z)- 1 = 0
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