Distribsprobabdiscretas.Galeon

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
OBJETIVOS:
Conocer las diferentes distribuciones y sus diferentes aplicaciones.

a) DISCRETAS
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Continuamos nuestro estudio de las distribuciones de probabilidad discretas con un modelo de gran utilidad práctica como es el modelo Binomial.
El modelo Binomial se puede considerar como la suma de n modelos de Bernoulli independientes(llamados así en honor a Jackes Bernoulli, matemático suizo que vivió en la última mitad del siglo XVII (1654-1705), que se aplica a una variable aleatoria que puede asumir sólo dos valores: 0 y 1 con probabilidades q y p respectivamente, donde (p+q) = 1, es decir, la distribución de Bernoulli está dada por:
xi | f(xi) |
0 | q |
1 | p |
  | 1 |
El. modelo de Bernoulli tiene un soloparámetro, p, es apropiado cuando se tenga un experimento que resulte en proposiciones: si o no; éxito o fracaso; niño o niña; artículos defectuosos o no defectuosos; etc. Obsérvese que, en el uso estadístico, resultados "favorables" o "satisfactorios" no significa necesariamente resultados que sean "deseables" en la práctica.
 
Un ejemplo de un experimento de Bernoulli es, en el lanzamiento deun dado legal, una sola vez, consideremos éxito el que salga un número primo par, entonces la probabilidad de éxito es 1/6 y la de fracaso (cualquier otro número diferente de 2) es 5/6.
Ahora definiremos un experimento Binomial, éste debe cumplir con las siguientes propiedades:
i. El experimento consta de n ensayos estadísticamente independientes y repetidos.
ii. Cada ensayo tiene dosresultados posibles uno llamado "éxito" y otro "fracaso" (cada ensayo es un experimento de Bernoulli).
iii. Mantiene la misma probabilidad de éxito "p", y la de fracaso, "q" en cada ensayo, donde p + q = 1.
iv. Genera la variable aleatoria discreta X, que cuenta el número de ensayos con "éxito" o dicho de otra manera, es el número de éxitos en los n ensayos. Por lo tanto, X toma valoresenteros desde 0 a n, es decir: X = {0, 1, 2, 3, , n}.
Hay muchos casos en la vida diaria donde una respuesta puede clasificarse en sólo dos categorías, por ejemplo: cuando se lanza una moneda, el resultado sólo puede ser águila o sol; cuando una persona entra a una tienda, compra o no compra algo; cuando nace un niño en un hospital, será niño o niña; una semilla germina o no germina; cuando
sefabrica algún producto, puede ser bueno o con defectos. etc.
 
 
 
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Ahora trataremos de obtener la función de probabilidad Binomial f(X) que da la probabilidad de obtener X éxitos en n ensayos, si quisiéramos la probabilidad de obtener X éxitos consecutivos, seguidos por (n-X ) fracasos, la probabilidad sería:

Pero deseamos la probabilidad de obtener X éxitosy (n-X) fracasos en cualquier orden de ocurrencia (no necesariamente X éxitos primero, seguidos de (n-X) fracasos seguidos).
El número de arreglos que se pueden formar con X, p’s y n-X, q’s, es el número de permutaciones de n letras de las cuales X son de un tipo y n-X son de otro tipo, y por la fórmula obtenida en el capítulo 3, (nótese, que por tratarse de dos tipos solamente, estos arregloscorresponden al número de combinaciones de n elementos tomados de X en X) sección 3.3, el número de tales permutaciones es:

Por otra parte, la probabilidad de que ocurran todos los arreglos posibles es la suma de las probabilidades de los eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia, es necesario sumar la probabilidad de uno de los eventos donde hay X veces p y n-X veces q, (pXqn-X) tantasveces como arreglos diferentes pueden ocurrir. Por lo tanto, la probabilidad de obtener X éxitos en cualquier orden de ensayos independientes para los cuales la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, viene dada

Así, la función de probabilidad binomial es

Algunos autores acostumbran a escribir la función de probabilidad binomial con la notación X ~ B(n,p), para indicar que X es una...