Distribucion Beta

ESTIMACIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN BETA
COMO MODELO PARA SU UTILIZACIÓN
EN EL MÉTODO PERT

RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO
EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ
Departamento de Economía Aplicada.
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.
Universidad de Granada

1. INTRODUCCIÓN
En los últimos años, a partir de la pregunta abierta lanzada por Sasieni
(1986), se ha visto resurgir el interés porperfilar mejor el modelo probabilístico
empleado en la metodología PERT.
Suponiendo que la duración de una actividad es una variable aleatoria sobre
un intervalo finito, existe un acuerdo generalizado de que la distribución beta es
un buen modelo para la distribución de tal variable aleatoria, debido a que esta
familia de distribuciones puede adoptar una amplia variedad de formas, con
distintasintensidades en su asimetría y en su curtosis. Este acuerdo se refuerza
aún más, si cabe, cuando la asimetría es un factor importante en el problema
bajo consideración. (Véase Moitra, 1990).
Habida cuenta de la escasísima, por no decir nula, información muestral
disponible para “ajustar” la distribución, es evidente que hay que recurrir al
conocimiento subjetivo de la actividad en estudio. Espor ello por lo que, en las
aplicaciones PERT, se determinan subjetivamente (opinión del experto) tres
duraciones: una optimista (a), otra pesimista (b) y otra más probable (m).
Los creadores del PERT sugirieron estimar los valores de la media y de la
varianza de la distribución beta mediante las fórmulas
a + 4m + b
µ=
(1)
6
(b − a )2
σ2 =
(2)
36
Las razones que les llevaron a ellasson eminentemente prácticas y
sustentadas por intuiciones atractivas (Véanse Hillier y Lieberman (1982) y Yu
Chuen-Tao, (1980)), pero desde luego no pueden obtenerse a partir de la

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función de densidad de la distribución beta con las informaciones disponibles de
a, b y m.
Con el fin de resaltar larigidez de este modelo, y para salvaguardar la
flexibilidad modeladora, Herrerías (1989) desarrolló unos modelos alternativos,
en las que las estimaciones de µ y σ 2 se obtienen por las fórmulas:
a + Km + b
K +2
(1 + K )(b − a) 2 + K 2 (m − a )(b − m )
µ=

σ2 =

(K + 2) 2 ( K + 3)

(3)
(4)

dejando la determinación de la ponderación K a nuestra confianza (subjetiva) en
la periciadel experto que determinó a, b y m.
Farnum y Stanton (1987) proporcionan una cierta base teórica para el uso de
las fórmulas clásicas en un intervalo, determinado, de valores modales, y
presentan una mejora de esas fórmulas para los valores de m que caen fuera de
ese intervalo.
A nuestro juicio, al partir de la hipótesis de que

σ 2 ( p, q) = σ 2 ( p −1, q −1) = 1 / 36
su base teórica esigual de rígida que las fórmulas que intentan sustentar.
Golenko-Ginzburg (1988) llega, por otro camino, a resultados análogos a los
ya citados de Herrerías, y determina el valor de la ponderación K, con la
siguiente condición:

∫

1

σ2 dm = 1 36

(5)

0

(Véase la expresión (4), en la que σ 2 aparece como función de m). Como puede
verse es una condición armonizadora con losclásicos.
Moitra (1990) centra muy bien el problema, haciendo constar que la
distribución beta tiene cuatro parámetros y nosotros sólo disponemos de tres
elementos de información: a, b y m. Por ello es necesario, o bien más
información o bien realizar alguna hipótesis. Él, en su trabajo, opta por el primer
camino.
Concretamente, propone pedirle al experto alguna información “banda”, o
bien sobre lasimetría de la distribución, o bien sobre la confianza que él tiene
en su propia estimación del valor más probable. A pesar de su claridad de ideas,
acaba, un tanto confusamente, discutiendo el valor adecuado de la constante c,
por la que hay que dividir (b-a), para obtener la desviación típica de la
distribución, ignorando que esa constante queda perfectamente determinada
dentro de la...