Distribución beta&gamma

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Distribución Beta
Definiciones.

La distribución beta se puede definir como:
Según Jorge Acuña Acuña: “Esta distribución de probabilidades se usa comúnmente para modelar variación en la proporción o porcentajes de una cantidad que se presenta en muestras diferentes; tal es el caso del porcentaje de producto defectuoso en un día o la fracción de componentes que no pasaron una prueba delaboratorio. La distribución beta es una familia de distribuciones sesgadas que posee los mismos parámetros y escala”.
Según John Freund, Irwin Miller, Marylees Miller:
La densidad uniforme f(x) =1 para 0 < x < 1 y f(x) = 0 en cualquier otra parte es un caso especial de la distribución beta, la cual se define de la siguiente manera:
Definición.
“Una variable aleatoria X tiene una distribución yse conoce como una variable aleatoria beta si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por:
fx={Γ(α+β)ΓαΓ(β)xa-1(1-x)β-1
Para 0 < x < 1 en cualquier otra parte donde α>0 y β>0”.
Según Liliana Blanco Castañeda:
Se utiliza frecuentemente como un modelo matemático para representar variables físicas cuyos valores se encuentran restringidos en un intervalo de longitud finita, ocomo modelo para fracciones, tales como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo que dura la reparación de una máquina.
Definición.
Se dice que la variable aleatoria X tiene distribución beta de parámetros a > 0 y b < 0 si su función de densidad está dada por:
fx= 1Ba,bxa-11-xb-1X0,1x
Donde B(a,b) es la función beta. Esto es,
Ba,b=01xa-1x-1b-1dxAplicaciones

En años recientes, la distribución beta ha encontrado aplicaciones importantes en la inferencia bayesiana, donde los parámetros se consideran como variables aleatorias, y hay necesidad de una densidad de probabilidad bastante “flexible” para el parámetro θde la distribución binomial, el cual sólo toma valores distintos a cero en el intervalo desde 0 hasta 1. Con “flexible” queremosdecir que la densidad de probabilidad puede tomar una gran variedad de formas diferentes.
Ejemplos

1. Un distribuidor mayorista de gasolina dispone de tanques de almacenamiento que contienen una cantidad fija de gasolina y que se llenan cada lunes. La proporción de esta reserva, que se vende durante la semana, es de sumo interés para el distribuidor. Mediante observaciones realizadas durantemuchas semanas, se encontró que el modelo adecuado para representar esta proporción es una distribución beta con parámetros a=4 y b=2. Hallar la probabilidad de que el mayorista venda al menos el 90% de su reserva durante una semana dada.
Solución. Sea X:=”proporción de la reserva que se vende durante la semana”. Puesto que X=β(4,2)se tiene que:
PX≥0.9=1-=X<0.9
=1-00.920x31-xdx=0.08146
2.Si la proporción de hornos de microondas de la marca ABC que requiere de servicio durante el primer año de operación es una variable aleatoria que tiene beta con α=3 y β=2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos el 80% de hornos que se vendan en un año determinado, requieran de servicio durante su primer año de operación?
La probabilidad de que al menos el 80% de hornos que se vendan en un añorequieran de servicio durante su primer año de operación es 0.1808.
Distribución Gamma

Definiciones

La distribución Gamma se puede definir como:
Según Liliana Blanco Castañeda.
Algunas variables aleatorias son no negativas siempre y tienen distribuciones que son sesgadas a la derecha, es decir, la mayor parte del área bajo la gráfica, de la función de densidad, se encuentra cerca delorigen y los valores de la función de densidad disminuyen gradualmente cuando x aumenta.
La distribución gamma se emplea, de manera extensa, en una gran diversidad de áreas, como por ejemplo, para describir los intervalos de tiempo entre dos fallas consecutivas del motor de un avión, o los intervalos de tiempo entre las llegadas de cliente a la cola del punto de pago en un supermercado.
La...
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