Distribuciones_de_Probabilidades
Páginas: 8 (1982 palabras)
Publicado: 30 de septiembre de 2015
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
Prof. Francisco Pradenas P.
1
Existe un conjunto de distribuciones
de probabilidades importantes, que
permiten conocer el comportamiento
de determinadas variables aleatorias,
de tipo discretas o continuas,
asociadas a experimentos aleatorios
específicos.
2 DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
DISCRETAS
3
Distribución BERNOULLI
Consideremos un experimento aleatorio el
cual tiene sólo dos resultados posibles, que
se llaman “éxito” (e) y “fracaso” (f).
Ω = e, f
Sea P(
e
) = p , P(
f
) = 1 – p = q ; 0
Distribución BERNOULLI
Sea X, una variable aleatoria definida por:
1 ; si ω = éxito
X(ω ) =
0 ; si ω = fracaso
En el caso anterior,se dice que X es una
variable aleatoria con distribución de
probabilidades Bernoulli de parámetro
“p”.
5
Distribución BERNOULLI
La distribución de probabilidades de X es:
x
p(x)
0
1-p
1
p
p(x) = p x (1 − p)1− x ; x = 0,1
E(X) = p ; V(X) = p(1 − p)
Notación: X ∼ F(p)
6
EJEMPLO 1
En cierta Región del País, hay períodos de
contaminación ambiental calificados como
buenos o críticos.
Ω =éxito,fracaso
= crítico, bueno
Sea X, una variable aleatoria definida por:
1 ; si ω = nivel crítico
X(ω ) =
0 ; si ω = nivel bueno
7
EJEMPLO 1
Supongamos que:
P(
e
) = p = P(
nivel crítico
) = 0.6
P(
f
) = 1 - p = P(
nivel bueno
) = 0.4
Por lo anterior: X ∼ F(0.6)
8
EJEMPLO 1
La distribución de probabilidades de X es:
x
p(x)
0
0.4
1− x
p(x) = 0.6 ⋅ 0.4
x
1
0.6; x = 0,1
E(X) = 0.6 ; V(X) = 0.24
9
Distribución BINOMIAL
Supongamos que un experimento Bernoulli
se repite n veces, tal que:
la probabilidad de éxito p es
constante de una repetición a otra.
las repeticiones son mutuamente
independientes.
10
Distribución BINOMIAL
Si X es una variable aleatoria que denota el
número de éxitos en las n repeticiones, entonces
X tiene distribución deprobabilidades binomial
de parámetros “n” y “p”.
La distribución de probabilidades de X es:
n x
p(x) = P(X = x) = p (1 − p) n − x ; x = 0,1,2,...,n
x
Notación: X ∼ b(n,p)
11
Distribución BINOMIAL
Se puede probar que:
E(X)= np
V(X) = np(1− p)
12
EJEMPLO 2
Consideremos el caso anterior, y sea X una variable
aleatoria que denota el número de días de una
semana cualquiera, que presentaniveles críticos de
contaminación.
Asumiendo independencia entre los días de la
semana y que la probabilidad de éxito es constante
entre un día y otro, se tiene que:
X ∼ b(7 , 0.6)
13
EJEMPLO 2
La distribución de probabilidades de X es:
7 x
p(x) = P(X = x) = 0.6 ⋅ 0.47 − x ; x = 0,1,2,...,7
x
E(X) = np = 7 ⋅ 0.6 = 4.2
V(X) = np(1 − p) = 7 ⋅ 0.6 ⋅ 0.4 = 1.68
¿Cuál es la probabilidad queen una semana
cualquiera se presenten 3 días con niveles críticos
de contaminación?
14
Distribución HIPERGEOMETRICA
Supongamos que se elige al azar una muestra de
n elementos, sin reemplazo, desde un conjunto
de N elementos, de los cuales M (M ≤ N) son de
una clase C y los restantes N – M son de la clase
C C.
Si X es una variable aleatoria que denota el
número de elementos en la muestra quepertenecen a la clase C, entonces X tiene
distribución de probabilidades hipergeométrica
de parámetros “N”, “M” y “n”.
15
Distribución HIPERGEOMETRICA
La distribución de probabilidades de X es:
M N − M
x n −x
p(x) = P (X = x) =
; x = 0,1,...,n ; n ≤ M
N
n
Notación: X ∼ H(N,M,n)
16
Distribución HIPERGEOMETRICA
Se puede probar que:
M
E(X)= n
N
M N−M N−n V(X) = n
N N N −1
17
EJEMPLO 3
Supongamos que en un lote de 30 computadores
adquiridos por un distribuidor, el fabricante
reconoce que 5 de ellos tienen problemas de
instalación del software. Un cliente adquiere 7
computadores para renovar el equipamiento de su
laboratorio, los cuales son elegidos al azar desde la
bodega.
Sea X, una variable aleatoria que denota el número
de...
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA
DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
Prof. Francisco Pradenas P.
1
Existe un conjunto de distribuciones
de probabilidades importantes, que
permiten conocer el comportamiento
de determinadas variables aleatorias,
de tipo discretas o continuas,
asociadas a experimentos aleatorios
específicos.
2 DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDADES
DISCRETAS
3
Distribución BERNOULLI
Consideremos un experimento aleatorio el
cual tiene sólo dos resultados posibles, que
se llaman “éxito” (e) y “fracaso” (f).
Ω = e, f
Sea P(
e
) = p , P(
f
) = 1 – p = q ; 0
Distribución BERNOULLI
Sea X, una variable aleatoria definida por:
1 ; si ω = éxito
X(ω ) =
0 ; si ω = fracaso
En el caso anterior,se dice que X es una
variable aleatoria con distribución de
probabilidades Bernoulli de parámetro
“p”.
5
Distribución BERNOULLI
La distribución de probabilidades de X es:
x
p(x)
0
1-p
1
p
p(x) = p x (1 − p)1− x ; x = 0,1
E(X) = p ; V(X) = p(1 − p)
Notación: X ∼ F(p)
6
EJEMPLO 1
En cierta Región del País, hay períodos de
contaminación ambiental calificados como
buenos o críticos.
Ω =éxito,fracaso
= crítico, bueno
Sea X, una variable aleatoria definida por:
1 ; si ω = nivel crítico
X(ω ) =
0 ; si ω = nivel bueno
7
EJEMPLO 1
Supongamos que:
P(
e
) = p = P(
nivel crítico
) = 0.6
P(
f
) = 1 - p = P(
nivel bueno
) = 0.4
Por lo anterior: X ∼ F(0.6)
8
EJEMPLO 1
La distribución de probabilidades de X es:
x
p(x)
0
0.4
1− x
p(x) = 0.6 ⋅ 0.4
x
1
0.6; x = 0,1
E(X) = 0.6 ; V(X) = 0.24
9
Distribución BINOMIAL
Supongamos que un experimento Bernoulli
se repite n veces, tal que:
la probabilidad de éxito p es
constante de una repetición a otra.
las repeticiones son mutuamente
independientes.
10
Distribución BINOMIAL
Si X es una variable aleatoria que denota el
número de éxitos en las n repeticiones, entonces
X tiene distribución deprobabilidades binomial
de parámetros “n” y “p”.
La distribución de probabilidades de X es:
n x
p(x) = P(X = x) = p (1 − p) n − x ; x = 0,1,2,...,n
x
Notación: X ∼ b(n,p)
11
Distribución BINOMIAL
Se puede probar que:
E(X)= np
V(X) = np(1− p)
12
EJEMPLO 2
Consideremos el caso anterior, y sea X una variable
aleatoria que denota el número de días de una
semana cualquiera, que presentaniveles críticos de
contaminación.
Asumiendo independencia entre los días de la
semana y que la probabilidad de éxito es constante
entre un día y otro, se tiene que:
X ∼ b(7 , 0.6)
13
EJEMPLO 2
La distribución de probabilidades de X es:
7 x
p(x) = P(X = x) = 0.6 ⋅ 0.47 − x ; x = 0,1,2,...,7
x
E(X) = np = 7 ⋅ 0.6 = 4.2
V(X) = np(1 − p) = 7 ⋅ 0.6 ⋅ 0.4 = 1.68
¿Cuál es la probabilidad queen una semana
cualquiera se presenten 3 días con niveles críticos
de contaminación?
14
Distribución HIPERGEOMETRICA
Supongamos que se elige al azar una muestra de
n elementos, sin reemplazo, desde un conjunto
de N elementos, de los cuales M (M ≤ N) son de
una clase C y los restantes N – M son de la clase
C C.
Si X es una variable aleatoria que denota el
número de elementos en la muestra quepertenecen a la clase C, entonces X tiene
distribución de probabilidades hipergeométrica
de parámetros “N”, “M” y “n”.
15
Distribución HIPERGEOMETRICA
La distribución de probabilidades de X es:
M N − M
x n −x
p(x) = P (X = x) =
; x = 0,1,...,n ; n ≤ M
N
n
Notación: X ∼ H(N,M,n)
16
Distribución HIPERGEOMETRICA
Se puede probar que:
M
E(X)= n
N
M N−M N−n V(X) = n
N N N −1
17
EJEMPLO 3
Supongamos que en un lote de 30 computadores
adquiridos por un distribuidor, el fabricante
reconoce que 5 de ellos tienen problemas de
instalación del software. Un cliente adquiere 7
computadores para renovar el equipamiento de su
laboratorio, los cuales son elegidos al azar desde la
bodega.
Sea X, una variable aleatoria que denota el número
de...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.