distribucon
Páginas: 13 (3148 palabras)
Publicado: 27 de febrero de 2014
Distribución normal
CAPÍTULO 16
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Cuando los datos están distribuidos con frecuencias ascendentes-descendentes aproximadamente
simétricas, se le llama distribución normal.
Cuando se trata de una variable discreta, o sea que solamente puede tomar valores como 1, 2, 3,
4, etc., pero no 2.04 ó 5.6, el histograma correspondiente está formado por un conjunto de barrascomo se muestra en la figura 16.1 a). Si, en cambio, la variable es continua, el histograma es una
curva como la mostrada en la figura 16.1 b), llamada curva normal.
figura 16.1
185
Distribución normal
En una curva normal lo que se utiliza es el área bajo la curva entre dos valores x1 y x 2 , ver
figura 16.1b, cuyo valor se emplea para obtener diferentes informaciones de los datos queconforman dicha curva. El procedimiento para obtener esa área es la que se va a estudiar en este tema.
Además, en una curva normal las tres medidas
de tendencia central coinciden en el centro: la
media, la moda la mediana; si acaso, puede haber
una escasa diferencia entre algunas de ellas.
También es simétrica respecto de la media, que
es el punto más elevado de la curva y, por lo tanto, elárea bajo la curva hacia la izquierda de la
media es del 50% y el otro 50% se localiza a la
derecha. Ver figura 16.2.
figura 16.2
Una característica muy importante de la curva
normal es que a partir de su eje de simetría se
puede dividir como lo muestra la figura 16.3, de
tal manera que el valor igual a cero de la gráfica
corresponda siempre a la media aritmética de la
distribuciónnormal de datos, y luego los datos
nominales se pueden transformar a uno equivalente de la escala de − 3 a + 3 de la figura 16.3.
Por eso, a los datos comprendidos en la escala de
- 3 a + 3 se les llama dato estándar.
figura 16.3
En esa escala estandarizada, el 1 representa
una desviación estándar, el 2 representa dos desviaciones estándares, y así sucesivamente. El signo positivosolamente indica que está a la derecha
del cero y el signo negativo significa que está a la izquierda. Con los ejemplos venideros se aclararán esos significados.
186
Distribución normal
16.1 ESTANDARIZACIÓN DE DATOS
Por lo dicho en el párrafo anterior, los datos pertenecientes a una distribución normal se pueden
estandarizar o normalizar, lo cual se consigue utilizando la fórmula
z=x−x
s
en donde:
z
x
x
s
=
=
=
=
dato estandarizado o normalizado
valor nominal del dato a estandarizar
media aritmética del conjunto de datos
desviación estándar.
x−x
z=
.
s
1
7
2
8
3
9
5
10
9
11
15
12
18
13
15
9
15
5
16
3
2
18
Se tienen ya todos los datos para utilizar la fórmula del dato
z:
6
17Solución: Para transformar un dato nominal en dato estándar, también
llamado dato z, se requiere calcular la media de todo el
conjunto. Para este caso ya se da por hecho que se sabe
calcular la media y la desviación estándar, por lo que se
omiten sus cálculos. La media es x = 12 y la desviación
estándar es s = 2.2994 .
f
14
Ejemplo 1: Convertir cada uno de los datos nominales de lasiguiente
tabla a datos estandarizados.
x
1
88
187
Distribución normal
dato nominal x
sustituyendo
dato z
6
z=
6 − 12
2.2994
z = - 2.6093
7
z=
7 − 12
2.2994
z = - 2.1744
8
z=
8 − 12
2.2994
z = - 1.7395
9
z=
9 − 12
2.2994
z = - 1.3046
10
z=
10 − 12
2.2994
z = - 0.8697
11
z=
11 − 12
2.2994
z = - 0.434812
z=
12 − 12
2.2994
0
13
z=
13 − 12
2.2994
z = 0.4348
14
z=
14 − 12
2.2994
z = 0.8697
15
z=
15 − 12
2.2994
z = 1.3046
16
z=
16 − 12
2.2994
z = 1.7395
17
z=
17 − 12
2.2994
z = 2.1744
18
z=
18 − 12
2.2994
z = 2. 6093
188
Distribución normal
El significado, a partir de que la media aritmética...
CAPÍTULO 16
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Cuando los datos están distribuidos con frecuencias ascendentes-descendentes aproximadamente
simétricas, se le llama distribución normal.
Cuando se trata de una variable discreta, o sea que solamente puede tomar valores como 1, 2, 3,
4, etc., pero no 2.04 ó 5.6, el histograma correspondiente está formado por un conjunto de barrascomo se muestra en la figura 16.1 a). Si, en cambio, la variable es continua, el histograma es una
curva como la mostrada en la figura 16.1 b), llamada curva normal.
figura 16.1
185
Distribución normal
En una curva normal lo que se utiliza es el área bajo la curva entre dos valores x1 y x 2 , ver
figura 16.1b, cuyo valor se emplea para obtener diferentes informaciones de los datos queconforman dicha curva. El procedimiento para obtener esa área es la que se va a estudiar en este tema.
Además, en una curva normal las tres medidas
de tendencia central coinciden en el centro: la
media, la moda la mediana; si acaso, puede haber
una escasa diferencia entre algunas de ellas.
También es simétrica respecto de la media, que
es el punto más elevado de la curva y, por lo tanto, elárea bajo la curva hacia la izquierda de la
media es del 50% y el otro 50% se localiza a la
derecha. Ver figura 16.2.
figura 16.2
Una característica muy importante de la curva
normal es que a partir de su eje de simetría se
puede dividir como lo muestra la figura 16.3, de
tal manera que el valor igual a cero de la gráfica
corresponda siempre a la media aritmética de la
distribuciónnormal de datos, y luego los datos
nominales se pueden transformar a uno equivalente de la escala de − 3 a + 3 de la figura 16.3.
Por eso, a los datos comprendidos en la escala de
- 3 a + 3 se les llama dato estándar.
figura 16.3
En esa escala estandarizada, el 1 representa
una desviación estándar, el 2 representa dos desviaciones estándares, y así sucesivamente. El signo positivosolamente indica que está a la derecha
del cero y el signo negativo significa que está a la izquierda. Con los ejemplos venideros se aclararán esos significados.
186
Distribución normal
16.1 ESTANDARIZACIÓN DE DATOS
Por lo dicho en el párrafo anterior, los datos pertenecientes a una distribución normal se pueden
estandarizar o normalizar, lo cual se consigue utilizando la fórmula
z=x−x
s
en donde:
z
x
x
s
=
=
=
=
dato estandarizado o normalizado
valor nominal del dato a estandarizar
media aritmética del conjunto de datos
desviación estándar.
x−x
z=
.
s
1
7
2
8
3
9
5
10
9
11
15
12
18
13
15
9
15
5
16
3
2
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Se tienen ya todos los datos para utilizar la fórmula del dato
z:
6
17Solución: Para transformar un dato nominal en dato estándar, también
llamado dato z, se requiere calcular la media de todo el
conjunto. Para este caso ya se da por hecho que se sabe
calcular la media y la desviación estándar, por lo que se
omiten sus cálculos. La media es x = 12 y la desviación
estándar es s = 2.2994 .
f
14
Ejemplo 1: Convertir cada uno de los datos nominales de lasiguiente
tabla a datos estandarizados.
x
1
88
187
Distribución normal
dato nominal x
sustituyendo
dato z
6
z=
6 − 12
2.2994
z = - 2.6093
7
z=
7 − 12
2.2994
z = - 2.1744
8
z=
8 − 12
2.2994
z = - 1.7395
9
z=
9 − 12
2.2994
z = - 1.3046
10
z=
10 − 12
2.2994
z = - 0.8697
11
z=
11 − 12
2.2994
z = - 0.434812
z=
12 − 12
2.2994
0
13
z=
13 − 12
2.2994
z = 0.4348
14
z=
14 − 12
2.2994
z = 0.8697
15
z=
15 − 12
2.2994
z = 1.3046
16
z=
16 − 12
2.2994
z = 1.7395
17
z=
17 − 12
2.2994
z = 2.1744
18
z=
18 − 12
2.2994
z = 2. 6093
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Distribución normal
El significado, a partir de que la media aritmética...
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