DIVISION ENTERA DE POLINOMIOS

DIVISION ENTERA DE POLINOMIOS

OBJETIVOS:

Saber aplicar la división de polinomios en la resolución de ecuaciones por aproximación.
Conocer la aplicación de la regla de Ruffini y de Horner.
Hallar residuos de manera inmediata, relacionado con la división aritmética.
Hallar la expansión aproximada de una expresión mediante su equivalente a polinomios.

INTRODUCCIÓN:

La división de polinomiosse origina con la división entera de números naturales; como se verá hay una relación entre las propiedades de amabas divisiones.
Asimismo, se debe tener presente que los matemáticos Guillermo Horner y Paolo Ruffini Fueron quienes desarrollaron y esquematizaron los métodos para efectuar dicha operación con los polinomios.
La división de polinomios tiene múltiples aplicaciones, entre ellas:

I. Enla obtención de los factores de un polinomio, mediante los divisores binómicos.
II. En la resolución de ecuaciones polinomiales mediante la aproximación (aplicación de la regla de Ruffini).
III. En el desarrollo de las series de potencias, como: P(x) = que mediante divisiones sucesivas por la regla Ruffini es posible escribirlo mediante la forma: P(x) = ; que en aritmética se conoce comocambio de base.

Las operaciones algebraicas de polinomios son análogas a las operaciones de los números naturales, de este modo, vemos que la adición y multiplicación de números naturales generan números naturales, en cambio la sustracción y la división de los números naturales no siempre genera números naturales. Del mismo modo, en la división de polinomios las operaciones de adición, sustracción ymultiplicación de polinomios han generado siempre otros polinomios llamados suma, diferencia o producto respectivamente, es decir, dentro de los polinomios son siempre posibles estas tres operaciones enteras.
En cambio dados dos polinomios P(x), h(x) no siempre será posible hallar otro polinomio q(x) que multiplicado por h(x) genere P(x).
Es decir, dados los polinomios P(x) y h(x) no siempreexiste q(x) de tal modo que se cumple como es fácil darse cuenta, para un polinomio P(x) No siempre existe otro polinomio tal que P(x) . salvo que P(x) sea una constante no nula.
Para resolver el problema de la división de polinomios se ha procedido de manera análoga a la división entera de números naturales, agregando la definición de residuo.
Así 425 entre 72425 72 cociente en los naturales
65 5

De tal modo 425 = 72 . 5 + 65

Esta división en los naturales no está definida, pero definiendo como división entera y un cierto residuo fue posible.




IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE DIVISIÓN ENTERA:

Dados los polinomios dividiendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)) condicionados por ladefinición, se cumple.
D(x)

Ejemplos:


Veamos

x – 4
X – 2
2 cociente

Residuo






Demostración:
De la identidad fundamental:
Supongamos que existen otrosdistintos a
Se tendrá
De


Como es al menos de grado cero, lo cual implicará que d(x) puede ser a lo más del mismo grado a R’(x) – R(x) lo cual es absurdo de acuerdo a su definición.
De donde se concluye que


Así mismo



Ejemplo:
Si








CLASES DE DIVISIÓN:

De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:

1.División Exacta
Llamaremos así cuando el resto o residuo sea un polinomio idénticamente nulo.

Luego

Ejemplo:
Al dividir
Veamos que


2. División Inexacta
Llamada también División no exacta, toma este nombre cuando el residuo no es idénticamente nulo, por lo que definimos: ; como se tendrá la equivalencia siguiente:



Ejemplo:
Al dividir }...