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Geometría euclídea
La geometría euclídea (o geometría parabólica)1 es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano afín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides.
También es común (abusando del lenguaje) decir queuna geometría es euclídea si no es no euclídea, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma.
En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensionessuperiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclídea es sinónimo de geometría plana y de geometría clásica.

Geometría plana
La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclídea, pues ésta estudia los elementos geométricos apartir de dos dimensiones.
Método exhaustivo
El método exhaustivo1 es un procedimiento geométrico-matemático de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo.
También se lo conoce como:
método por agotamiento,2
método de exhausción3 o
método de exhaución.4
El término proviene del inglés method of exhaustion (que sería mejortraducido como ‘método por agotamiento’, ya la Real Academia Española no ha aceptado aún el sustantivo «exhausción», a pesar de reconocer el adjetivo «exhausto». El inglés exhaustion proviene del latín exhaustiō (‘agotamiento’).
Historia


Método exhaustivo para hallar el área del círculo, la longitud de lacircunferencia y, como consecuencia, el número pi.
El sofista Antifonte (430 a. C.) trató dedeterminar el área del círculo inscribiendo en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se colmara.
Un ejemplo más famoso del método exhaustivo o por agotamiento es el del cálculo de la longitud de una circunferencia efectuado por Arquímedes. Él utilizó dos métodos:
el método de agotamiento, inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario,y
el método de compresión, circunscribiendo polígonos a la circunferencia. De este modo, al aumentar el número de lados de los polígonos, las figuras tenderán a acercarse a la forma de la circunferencia, tanto que Arquímedes pudo obtener una medida bastante precisa del número π.
El método de agotamiento está descrito en el Método, un libro de Arquímedes en el que se explica este procedimiento.Es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Leibnizunificar el cálculo diferencial con el integral, lo cual conllevó la posterior definición rigurosa de límite de una función por Bernard Bolzano, Cauchy y Weierstrass.
El método de agotamiento es el precursor del concepto de suma de Riemann que permite definir con rigor la integral de una función en unintervalo.
Sumatorio
El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma (  ), y se define como:

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m.La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se...