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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA
PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CÓDIGO:
GUÍA DE LABORATORIO N° 2
ASIGNATURA: Procesamiento Digital de Señales
PÁG 1/4
PRIMERA FASE:
Docente:
Transformada Z
Ph.D. Alex Cartagena Gordillo
Fecha: Abril 2013
I. OBJETIVOS
•
•

Estudiar la transformada Z, la cual es una de muchas importantes transformadas usadas en
análisis y diseño desistemas lineales.
Realizar representaciones operaciones empleando la transformada inversa Z.

II. MARCO TEÓRICO
a) Definición de la transformada Z
1. La transformada Z (directa) F(z) de una función en tiempo discreto f[n] está dado por la
siguiente suma
𝒁𝒁 𝒃𝒃 [𝒇𝒇[𝒏𝒏]] = 𝑭𝑭 𝒃𝒃 (𝒛𝒛) = � 𝒇𝒇[𝒏𝒏] 𝒛𝒛−𝒏𝒏
∞

𝒏𝒏=−∞

(1)

donde Zb[.] indica la transformada z. La expansión de la transformada zresulta en
𝐹𝐹𝑏𝑏 (𝑧𝑧) = ⋯ + 𝑓𝑓[−2]𝑧𝑧 2 + 𝑓𝑓[−1]𝑧𝑧 + 𝑓𝑓[0] + 𝑓𝑓[1]𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓[2]𝑧𝑧 −2 + ⋯
(2)
En general, z es compleja, con z=Σ+jΩ.
La definición en (1) se denomina bilateral, o de dos lados, la transformada z, por eso el
subíndice b. La transformada z inversa está dada por

1
� 𝐹𝐹 (𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑗𝑗 = √−1
(3)
2𝜋𝜋𝜋𝜋 Γ 𝑏𝑏
donde Z-1[.] indica la transformada z inversa y Γ es un caminoparticular, cerrado y en
sentido opuesto al de las agujas de un reloj en el plano z. La ecuación (3) se denomina la
integral de inversión compleja. Debido a la dificultad de evaluación de esta integral, muy
raramente es usada para hallar la transformada inversa. En su lugar, se emplean tablas,
tal y como se hace con otras transformadas.
Las ecuaciones (2) y (3) son llamadas el par detransformadas z bilateral. Ahora
modificamos la definición en (2) para obtener una forma de la transformada z que es útil
en muchas aplicaciones. Primero, expresamos (2) como
𝑍𝑍 −1 [𝐹𝐹𝑏𝑏 (𝑧𝑧)] = 𝑓𝑓[𝑛𝑛] =
𝑏𝑏

−1

𝑍𝑍 𝑏𝑏 [𝑓𝑓[𝑛𝑛]] = 𝐹𝐹𝑏𝑏 (𝑧𝑧) = � 𝑓𝑓[𝑛𝑛]𝑧𝑧
𝑛𝑛=−∞

−𝑛𝑛

∞

+ � 𝑓𝑓[𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=0

(4)

Luego, definimos f[n] de manera que sea cero para n |𝑎𝑎|

𝑧𝑧
; |𝑧𝑧| > |𝑎𝑎|
𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
En esteúltimo ejemplo, pudimos expresar 𝑓𝑓[𝑛𝑛] como 𝑎𝑎 𝑛𝑛 𝑢𝑢[𝑛𝑛]. Sin embargo, la
transformada z unilateral requiere que 𝑓𝑓[𝑛𝑛] = 0 para 𝑛𝑛 < 0. Si el factor 𝑢𝑢[𝑛𝑛] no es
mostrado explícitamente, se entiende que está presente.
Como se vio en los dos ejemplos anteriores, la transformada z del escalón unitario 𝑢𝑢[𝑛𝑛] y
la función exponencial 𝑎𝑎 𝑛𝑛 tienen condiciones para su existencia. La transformadaz de
cualquier función 𝑓𝑓[𝑛𝑛], denotado como 𝐹𝐹(𝑧𝑧), tendrá generalmente condiciones similares
para su existencia, de manera que la serie infinita
𝑎𝑎 𝑛𝑛 ↔

y se tiene el par de transformada z

𝑍𝑍

∞

𝑍𝑍�𝑓𝑓[𝑛𝑛]� = 𝐹𝐹(𝑧𝑧) = � 𝑓𝑓[𝑛𝑛]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=0

es convergente. Incrementando la magnitud de z incrementa la probabilidad de
convergencia para cualquier 𝑓𝑓[𝑛𝑛], dado que |𝑧𝑧 −𝑛𝑛 | se tornamás pequeño mientras n se
acerca a infinito. Entonces, las condiciones para la convergencia son de la forma |𝑧𝑧| > |𝑟𝑟|,
donde r está determinada por 𝑓𝑓[𝑛𝑛].
Las condiciones de convergencia determina el camino Γ en la integral de inversión (3).
Debido a que no usamos (3) para encontrar la transformada z, generalmente ignoramos
las condiciones para la convergencia. Sin embargo, cuandointroducimos la transformada
z bilateral, las condiciones para la convergencia debe ser considerada.
Ejemplo de Filtro Digital
Ahora empleamos la transformada z para resolver una ecuación de primer orden. Sin
embargo, primero debemos derivar la propiedad de desplazamiento real de la
Ph.D. Alex Cartagena Gordillo

transformada z. Considere la transformada z de una función retardad 𝑓𝑓[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0]𝑢𝑢[𝑛𝑛 −
𝑛𝑛0 ] para 𝑛𝑛0 ≥ 0:
∞

𝑍𝑍[𝑓𝑓[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑢𝑢[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]] = � 𝑓𝑓[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑢𝑢[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=0
∞

= � 𝑓𝑓[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑛𝑛=𝑛𝑛 0

= 𝑓𝑓[0]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 + 𝑓𝑓[1]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 −1 + 𝑓𝑓[2]𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 −2 + ⋯
= 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 [𝑓𝑓[0] + 𝑓𝑓[1]𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓[2]𝑧𝑧 −2 + ⋯ ] = 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 𝐹𝐹(𝑧𝑧)
Para 𝑛𝑛0 ≥ 0, tenemos la propiedad
𝑍𝑍[𝑓𝑓[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]𝑢𝑢[𝑛𝑛 − 𝑛𝑛0 ]] = 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 0 𝐹𝐹(𝑧𝑧)
(14)
Por supuesto, 𝑛𝑛0 debe ser un...