Documento_05_variable_aleatoria
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Publicado: 10 de noviembre de 2015
05. VARIABLE ALEATORIA
En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. Ejemplos. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E=(CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS,SSC, SSS) le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras.
Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos Variable Aleatoria y la denotaremos por X.
Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de lospuntos aparecidos en cada dado (discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).
Variable Aleatoria. Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento. Sea E elEspacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real). Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Si un experimento con espaciomuestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación,
- (X=x) representa el suceso "la Variable Aleatoria X toma el valor x", y P(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.
- (X
- (Xx) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x”, y P(Xx) representa la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome un valor menor o igual a x.
Normalmente, los resultados posibles (Espacio muestral E) de un experimentoaleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el número de caras (C) y Sellos (S) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sería:
E=(CCC,CCS,CSC,SCC,SCS,SSC,CSS,SSS)
En estadística resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente con los elementosde un espacio muestral como el anterior. Así preferimos identificar los sucesos (CSS,SCS,SSC) con el valor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de toda función
que atribuye un único número real xe, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E.
Por ejemplo, en elejemplo anterior, se define la variable aleatoria: X=Número de caras del siguiente modo: X(CCC)=3; X(CCS,CSC,SCC)=2; y X(SSC,CSS,SCS)=1, y finalmente X(SSS)=0, puesto que estamos hablando de caras
- La variable X no recibe el calificativo de aleatoria por el hecho de que atribuya de modo imprevisible un valor cualquiera a un elemento (e está incluido en E) ya que este valor está definido de formaprecisa (determinística). Lo que es aleatorio en realidad, es que al hacer el experimento, no sabemos qué elemento de E puede ocurrir.
- La composición de una función real con una variable es también variable aleatoria, pues está definida sobre E y a cada elemento suyo le asocia un valor real.
En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continua...
05. VARIABLE ALEATORIA
En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un estudio matemático. Ejemplos. Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E=(CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS,SSC, SSS) le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras.
Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos Variable Aleatoria y la denotaremos por X.
Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de lospuntos aparecidos en cada dado (discreta). Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria (continua).
Variable Aleatoria. Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento. Sea E elEspacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a cada elemento de E un número real). Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Si un experimento con espaciomuestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación,
- (X=x) representa el suceso "la Variable Aleatoria X toma el valor x", y P(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.
- (X
- (Xx) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x”, y P(Xx) representa la probabilidad de que la Variable Aleatoria X tome un valor menor o igual a x.
Normalmente, los resultados posibles (Espacio muestral E) de un experimentoaleatorio no son valores numéricos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar de modo ordenado tres monedas al aire, para observar el número de caras (C) y Sellos (S) que se obtienen, el espacio muestral asociado a dicho experimento aleatorio sería:
E=(CCC,CCS,CSC,SCC,SCS,SSC,CSS,SSS)
En estadística resulta más fácil utilizar valores numéricos en lugar de trabajar directamente con los elementosde un espacio muestral como el anterior. Así preferimos identificar los sucesos (CSS,SCS,SSC) con el valor numérico 1 que representa el número de caras obtenidas al realizar el experimento. De este modo aparece el concepto de variable aleatoria unidimensional como el de toda función
que atribuye un único número real xe, a cada suceso elemental e, del espacio muestral E.
Por ejemplo, en elejemplo anterior, se define la variable aleatoria: X=Número de caras del siguiente modo: X(CCC)=3; X(CCS,CSC,SCC)=2; y X(SSC,CSS,SCS)=1, y finalmente X(SSS)=0, puesto que estamos hablando de caras
- La variable X no recibe el calificativo de aleatoria por el hecho de que atribuya de modo imprevisible un valor cualquiera a un elemento (e está incluido en E) ya que este valor está definido de formaprecisa (determinística). Lo que es aleatorio en realidad, es que al hacer el experimento, no sabemos qué elemento de E puede ocurrir.
- La composición de una función real con una variable es también variable aleatoria, pues está definida sobre E y a cada elemento suyo le asocia un valor real.
En función de los valores que tome la variable, esta puede ser clasificada en discreta o continua...
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