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Ejercicios Resueltos de Probabilidades EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES: 1) Sea Ω = { A={ , , ,……, ,……,
#

} } ;r≤n

Se define: P (A) = #

Demostrar que P(A) es función probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) ≥ 0

Por definición la cardinalidad de un conjunto es el conteo de elementos de tal conjunto, por lo tanto sonpositivas. # ii. ≥ 0, # Ω ≥ 0 → P(A) ≥ 0

P(Ω) = 1

Basta con solo reemplazar en la función P(A) P (Ω) = iii. P( P( P( P(
# #

= 1 → P (Ω) = 1 )=∑ )= )=
# # # #

= +
# #

#

#

…………

=

#

# #

………

+ …… = P (

)+P(

) + ………

)=∑

Por lo tanto P (A) es función probabilidad.

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atuán M. Departamento de Matemáticas yEstadística Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 2) Sea: Ω = {0, 1, 2,……….} Se define: P(A) = ∑
!

Demostrar que P(A) es función probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) ≥ 0

El , es una constante positiva. 3 Siempre es mayor que cero para todo valor de x. La factorial de un número está definida comopositivo. Por lo tanto: P(A) ≥ 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = ∑ P (Ω) = 1 iii. P( ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Por lo tanto P (A) es función probabilidad. ∑
!

!

=∑

!

=

∑

!

=

=1

)=∑
! ………

=
!

=
!

+ ∑
!

+ ……… =

=

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atuán M. Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 3) Sea:Ω = {1, 2, 3,……….} Se define: P (A) = ∑ Demostrar que P(A) es función probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. P(A) ≥ 0 2 ≥0/ → ≥0

Al aplicar sumatoria se conserva la igualdad. Por lo tanto: P(A) ≥ 0 ii. P (Ω) = 1 P (Ω) = ∑ P (Ω) = ∑ P (Ω) = 1 iii. P( ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Por lo tanto P (A) es función probabilidad. ∑ )=∑ =
………

=∑

=

1

1= + ……… =

+ ∑ =

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atuán M. Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades

4)

Sea: Ω = {x/x R}; (-∞, ∞) Se define: P (A) =
√

Demostrar que P(A) es función probabilidad.

SOLUCION: Para que P(A) sea función probabilidad debe cumplir los 3 axiomas i. El
√

P(A) ≥ 0 , es unaconstante positiva. Siempre es mayor que cero para todo valor de x.

Por lo tanto: P(A) ≥ 0 ii. P (Ω) = 1

P (Ω) = P (Ω) = P (Ω) =

√ √ √ √

= = 2 =
√

√ √

(Hacemos u = (z – 1 = =1

)

→z= )

1

√

P (Ω) = 1 iii. P( )=∑ + + …….. =

√

√

∑ ∑

√

=

=

Por lo tanto P (A) es función probabilidad.

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atuán M.Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 5) Demostrar que: P ( ) = 1 – P (A)

A :Ω

SOLUCION: Sabemos que: P (Ø) = 0 y P (Ω) = 1 Del diagrama se puede ver que: A U =Ω

Si aplicamos función probabilidad en la igualdad, tendríamos: P (A U ) = P (Ω) ) -P (A ) = P (Ω)

P (A) + P ( P (A) + P ( P (A) + P ( P (A) + P ( P(

) - P (Ø) =P (Ω) )–0=1 )=1

) = 1 – P (A)

6) Demostrar que: P (Ø) = 0

SOLUCION: Solo basta analizar y darse cuenta de que: Ω = Ω U Ø Si aplicamos función probabilidad en la igualdad, tendríamos: P (Ω) = P (Ω U Ø) / Como Ω y Ø son eventos excluyentes: P (Ω U Ø) = P (Ω) + P (Ø) P (Ω) = P (Ω) + P (Ø) 1 = 1 + P (Ø) P (Ø) = 0

Profesor: Antonio Sanhueza. Ayudante: Pablo Atuán M. Departamento deMatemáticas y Estadística Universidad de la Frontera

Ejercicios Resueltos de Probabilidades 7) Demostrar que: i. P ( ii. P ( A ) = P (B) – P (A ) = P (A) – P (A B

A

SOLUCION: Solo basta ver el diagrama para darse cuenta que ,A eventos mutuamente excluyentes, es decir, que su intersección es vacío. i. Para la primera parte tenemos que: B = función probabilidad en la igualdad. B U (A B + P (A...