Documento19

RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas más frecuentes en el trabajo científico y técnico es hallar raíces de
ecuaciones de la forma

donde

está dada explícitamente (por ejemplo,

un polinomio en x).

En algunos casos es posible obtener las raíces exactas de la ecuación (una ecuación de 2º
grado, una bicuadrada,...), pero en la mayoría esto resulta imposible. Además, inclusoen
casos resolubles no nos va a interesar tanto la respuesta "exacta" como la PRECISIÓN con
la que podamos calcular las raíces. Por ejemplo: supongamos que tenemos que construir
una barra cuya longitud l verifique la ecuación
habrá de medir
por ser

⟹

. Luego, la barra

. Es claro que esta respuesta no puede usarse para fines prácticos

un número irracional (y por lo tanto con infinitosdecimales). A la hora de

trabajar con

representamos este número en el sistema decimal de cálculo tomando el

número de decimales que nuestra precisión exija. Además, la mayoría de las veces también
los coeficientes han sido obtenidos a partir de medidas experimentales, luego sujetos a
error.
Luego, nos interesa encontrar métodos para calcular las raíces de una ecuación con el
grado necesario deprecisión.

Recordemos algunas definiciones.

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Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica

Definición:

Sea

una función. Llamamos ECUACIÓN a cualquier expresión

del tipo
Si

.
es una función polinómica, a

le denominamos

ECUACIÓN ALGEBRAICA O POLINÓMICA. En cualquier otro caso, se
denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE.
Llamamos RAÍZ de la ecuación

o CERO de la función

a

cualquier númeror que la verifique, es decir, que cumpla que
.
y

yf(x)

Las raíces de una función son los
puntos donde la gráfica de ésta
corta al eje de abscisas.

r1

r2

r3

La función de la gráfica tiene tres
raíces: r1, r2 y r3

En principio una raíz también puede ser un número complejo; nosotros sólo estamos
interesados en la búsqueda de las raíces reales de una ecuación.

Pasos para la resolución de unaecuación
En general, la búsqueda de las raíces reales de un polinomio va a constar de tres pasos:
 ACOTACIÓN
 SEPARACIÓN
 APROXIMACIÓN

Acotar consiste en encontrar dos números reales, a y b, de manera que tengamos
garantizado que fuera del intervalo [a, b] no se encuentra ninguna raíz real de la
ecuación.

Propiedades generales de las raíces de una ecuación algebraica

Separar consiste endividir el intervalo [a, b] en otros más estrechos de forma que
en cada uno de ellos o haya una única raíz o no haya ninguna.
Y, finalmente podemos pasar a aproximar cada una de las raíces con tanta
precisión como deseemos.

Vamos a dividir nuestro estudio en ecuaciones algebraicas y trascendentes ya que la forma
de trabajar con ellas es, a veces, bastante diferente, aunque encontraremos métodoscomunes para ambos tipos de ecuaciones.

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Propiedades generales de las raíces de una ecuación
algebraica.

Algunos de los resultados que veremos en este apartado son válidos para cualquier tipo de
ecuaciones algebraicas, ya tengan los coeficientes reales o complejos. Como nuestro
estudio de resolución de ecuaciones se va a limitar a polinomios con coeficientes reales,
siempresupondremos que los polinomios con los que trabajamos son polinomios con este
tipo de coeficientes; es decir, salvo que se especifique otra cosa, en adelante
polinomio general de grado n con coeficientes reales:

en donde los coeficientes

Lema:

son todos números reales.

Sea r un número complejo. Entonces:
r es una raíz del polinomio P(x)

será un

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4

Propiedades generales de las raíces deuna ecuación algebraica

⇕
P(x) es divisible por el factor ( x

r ), es decir el polinomio P se

puede escribir como

en donde

es un

polinomio un grado menor que P(x).

Demostración: Dividiendo el polinomio P(x) entre (x
P(x)= (x

r ) obtenemos:

r ) Q(x) + R(x)

Como el grado del divisor siempre es estrictamente mayor que el del resto se tiene que
1 = grado (x r)  grado R(x) y, por lo tanto,...