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UNIVERSIDAD DE CARABOBO
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESTUDIOS BÁSICOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CÁTEDRA DE FUNCIONES VECTORIALES

GUÍA DE ORIENTACIÓN PRÁCTICA
( Tomado de su publicación original de fecha 15 de Marzo de 1995. Trascripción: Prof. Enrique Flores, Septiembre de 2005)
Tema 1: Límites y continuidad
1. En cada caso, determine el dominio de f
(a)
(b)(c)
(d)
(e)
(f)

2. Dibuje e identifique las gráficas de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)
(d) en cada uno de los casos anteriores, obtenga, identifique y dibuje la curva de nivel de f que pasa por el punto (1,1).

3. En cada caso dibuje la gráfica de f(x,y), dibuje e identifique las curvas de nivel para c = ½, 1, 3
(a)
(b)
(c)
(d)

4. (a) Si obtengauna cota apropiada para
i.
ii.
iii.
(b) Demostrar que si
i. entonces
ii. entonces

5. Se dispone de una variedad de triángulos rectángulos. Se requiere construir cuadrados cuyos lados sean la suma de los catetos de cada triángulo respectivamente. Busque una cota superior para la longitud de las hipotenusas de los triángulos para garantizar que el área de cada rectángulosea a lo sumo 100 cm2.

6. Demostrar que los puntos caen dentro de para todo . Represente mediante un dibujo.

7. Hallar un tal que los puntos caigan dentro de para todo . Represente mediante un dibujo.

8. Demuestre que no existen los siguientes límites
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)

9. Para cada una de las siguientes funciones calcule el límite cuando
(a)
(b)
(c)
(d)10. Estudie la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad no esencial redefina la función de una manera continua
(a)
(b)
(c)

11. Dada la transformación lineal calcular un correspondiente a un = 0.05 que cumpla la condición de continuidad en todo el plano.

Tema 2: El diferencial
1. Calcule la pendiente en el punto (2,1,7) de la curva obtenida alcortar la superficie z = x2 + 3y2 con el plano x = 2. Represente en un dibujo. ¿Cuál es la variación aproximada de la cota del punto cuando la ordenada pasa de 1 a 0.5?

2. (a) Demuestre que y son soluciones de la ecuación
( c constante).
(b) Demuestre que la función satisface la ecuación de Laplace

3. La temperatura (en grados centígrados) en el pto. (x,y) de una placa de acero vienedada por
(a) ¿Con respecto a cuál de las variables es T más sensible?
(b) ¿Cuál es el valor aproximado de la temperatura si a partir del pto. (3,1) la variable x cambia de 3 a 3.5? ¿Cuál es la variación de la temperatura cuando la variable y cambia de 1 a 0.99?

4. (a) Calcule la ecuación del plano tangente a la superficie z = 4 + 3(x2 + y2) en el punto (1,1,z0). Represente en un dibujo lasuperficie y el plano tangente.
(b) Considere la función . Calcule, si es posible, la matriz jacobiana de f en el punto (0,0). ¿Es posible obtener una función lineal que aproxime bien los valores de f para valores muy pequeños de x e y? ¿Tiene la superficie z = f(x,y) plano tangente en el pto (0,0,0).

5. Estudie la diferenciabilidad en el origen de cada una de las siguientes funciones
(a)(b)

6. Para cada una de las funciones en el problema 3, tema 1, use la gráfica para determinar el conjunto de puntos en el plano donde la función no es diferenciable. Dé una explicación sencilla.

7. Calcule la diferencial de las siguientes funciones
(a)
(b)
(c)

8. Verifique que la función tiene matriz jacobiana en (0,0) pero no es diferenciable en ese punto. ¿Es f continua enel origen?

9. ¿En cuales puntos no son diferenciables las siguientes funciones?
(a)
(b)

10. La expresión matemática que rige un determinado problema físico viene dada por R = v2sen(2w) donde v y w son variables. Si en la medición de v existe un error de 1% y 0.01 radian en la de w, calcule el error que se comete en la determinación de R cuando v = 100 y .
11. El...