download 1

CAPÍTULO
CONCEPTOS

BÁSICOS DE ÁLGEBRA

13

Reseña

HISTÓRICA

al-Khwarizmi

M

atemático árabe, conocido como el
padre del álgebra.

Sus obras incursionan en las ramas de las matemáticas, astrología, astronomía, geografía e
historia. Una de sus obras importantes por su
contenido algebraico es la que lleva por título
Hisab al-gabr wa’lmuqqabala, considerada uno de los primeros libros de
álgebra.Es el autor de uno de los métodos geométricos más antiguos para resolver
ecuaciones de segundo grado, el cual se conoce como completar cuadrado.
En las ecuaciones llamaba “cosa” (xay en castellano) a la incógnita, a él
se debe que se utilice la letra “x” para representarla.
Sello ruso dedicado a al-Khwarizmi
(780-850 d.C.)

13 CAPÍTULO
ÁLGEBRA

Álgebra
Rama de las matemáticas que trata a lascantidades de manera general.

Expresiones algebraicas
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades,
mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.

Ejemplos
3a + 2b − 5, en esta expresión son constantes 3, 2, − 5 y las variables son a y b.
(z2 + 8)(5z4 − 7), en esta expresión sonconstantes 8, 5 y − 7, variable “z” y 2, 4 exponentes.
Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico
se le denomina monomio y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).

Ejemplos

−

Término

Coeficiente

Base(s)

Exponente(s)

−8 y 3

−8

y

3

1 x
mn
3

1
3

m, n

1, x

2x + 1

−2

3
( 2 x + 1)−2
4

−

3
4

Términos semejantes.Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.

Ejemplos
Los siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente son
semejantes.
1
− 7b con 4b
− 8x2y3 con 7x2y3
abc2 con abc2
6

Reducción de términos semejantes
Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan loscoeficientes.

Ejemplos

EJEMPLOS

1

Simplifica la expresión − 7a + 3a.
Solución
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación que da como resultado:
− 7a + 3a = (− 7 + 3)a = − 4a

2

¿Cuál es el resultado de simplificar la expresión − 6xy2 + 9xy2 − xy2?
Solución
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación para obtener el resultado:
− 6xy2 + 9xy2 − xy2 = (− 6 + 9 − 1)xy2 = 2xy2
Porconsiguiente, el resultado de la simplificación es: 2xy2

266

CAPÍTULO 13

Conceptos básicos de álgebra

3

Reduce la expresión −10x 2a y b + 5x 2a y b − 6x 2a y b + 11x 2a y b.
Solución
Se efectúa el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene:
−10 x 2 a y b + 5 x 2 a y b − 6 x 2 a y b + 11x 2 a y b = ( −10 + 5 − 6 + 11) x 2 a y b = 0 x 2 a y b = 0
El resultado es igual a 04

Simplifica la expresión 7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z.
Solución
Se agrupan los términos semejantes:
7x − 3y + 4z − 12x + 5y + 2z − 8y − 3z = 7x − 12x − 3y + 5y − 8y + 4z + 2z − 3z
Se realiza la reducción:
= (7 − 12)x + (− 3 + 5 − 8)y + (4 + 2 − 3)z
= − 5x − 6y + 3z
Por tanto, el resultado es: − 5x − 6y + 3z

5

2
Simplifica 0.5 a 3b − 3ab 3 − 5 a 3b + 0.75 ab 3 − a 3b.
3
Solución
Seexpresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifican los términos semejantes.
2
1
3
2
0.5 a 3b − 3ab 3 − 5 a 3b + 0.75 ab 3 − a 3b = a 3b − 3ab 3 − 5 a 3b + ab 3 − a 3b
3
2
4
3
1 3
2 3
3 3
3
3
= a b − 5 a b − a b − 3ab + ab
2
3
4
2⎞ 3 ⎛
3⎞ 3
⎛1
= ⎜ − 5 − ⎟ a b + ⎜ −3 + ⎟ ab
⎝2
⎝
3⎠
4⎠
=−
Entonces, el resultado es: −

31 3
9
a b − ab 3
6
4

EJERCICIO 20
Simplifica:

1. 3x − 8x
2. 6a2b +7a2b
3. − 6xy2 − xy2 − 3xy2
4. 4xy4z3 − 4xy4z3
5. − 2a2b + 12a2b
6. − 3a + 5a − 10a
7. 4x − 3x − 2x
8. 7ab + 4ab − 3ab

267

31 3
9
a b − ab 3
6
4

13 CAPÍTULO
ÁLGEBRA

9. 5a2 − 7a2 + 3a2 − 2a2
10. − m + n + m + n
1 3
3
1
a b − a 3b + a 3b
4
5
6

11.

12. − 3ax+1 + 2ax+1 − ax+1 + 2ax+1
13. 0.25b − 0.4b + 0.2b
14.

1 3
3
ab c − ab 3 c − ab 3 c
2
2

15. 4mx−2 − 10mx−2 + 3mx−2
16. 8x − 3y − 9x + 5y −...