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Sintácticamente, p y q son equivalentes si cada una puede probar a la otra. Semánticamente, p y q son equivalentes si ambas tienen el mismo valor de verdad en cada modelo.La equivalencia lógica de py q a veces se denota o bien . Sin embargo, estos símbolos son también utilizados para denotar el bicondicional. La interpretación propia depende del contexto, y aunque ambos conceptos estánfuertemente relacionados, la equivalencia lógica es diferente de la equivalencia material. Se tiene así que la afirmación «p si y sólo si q» es lógicamente equivalente al par de afirmaciones «Si p, entoncesq», y «si q, entonces p». Escrito con símbolos lógicos:.Ejemplos

Las dos sentencias siguientes son lógicamente equivalentes:

Si Lisa está en Francia, entonces ella está en Europa (en símbolos, f\rightarrow e).
Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en Francia (en símbolos, \neg e \rightarrow \neg f).
Sintácticamente, (1) y (2) son derivables cada una de la otra a través de laregla de contraposición. Semánticamente, (1) y (2) son verdaderas en exactamente los mismos modelos (interpretaciones, valuaciones); a saber, aquellos en que Lisa está en Francia es falso o bien Lisa estáen Europa es verdadero.

Se tienen las siguientes relaciones; utilizando cuantificadores y conectivas lógicas:


\forall x \in A \; : \quad P(x)
\qquad \longleftrightarrow \qquad
\neg\exists x \in A \; : \quad \neg P(x)
Si: para todo x de A se cumple P(x), es equivalente a: no existe x en A que no cumpla P(x).

\exists x \in A \; : \quad P(x)
\qquad \longleftrightarrow\qquad
\neg \forall x\in A \; : \quad \neg P(x)
Si: existe x en A que cumple P(x), es equivalente a: no para todo x de A, no se cumple P(x).
En cuanto al cuantificador existencial único puedeconsiderarse una extensión por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la equivalencia:


\exists ! x \in A \; : \quad P(x)
\qquad \longleftrightarrow \qquad
\forall...