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ESTADÍSTICA ESPAIVOLA
Núm. 110, 1986, pÁgs. 33 a 46

Un contraste de normalidad basado en la
transformación Box-Cox
por DANIEL PEÑA SANCHEZ DE RIVERA
ETSII, Universidad Politécnica de Madrid
JUAN IGNACIO PEÑA SANCHEZ DE RIVERA
Dpto. de Econometría, Universidad Autánoma de Madrid

RESUMEN
En este trabajo se presenta un estudio de las posibilidades de
utilizar las transformacionesBox-Cox para testar la Normalidad
de una variable aleatoria. Se derivan los tests de Razón de Verosimilitud y Multiplicador de Lagrange correspondientes y se presenta un estudio de simulación de la potencia comparada del test
LR frente a otros tipos de «omnibus» y dire ^cionales.

Pulubra.s Cla^e: Transformación Box-Cox, Test Omnibus y Direccionales, LR y LM test, Potencia Comparada.
1.INTRODUCCION

Los contrastes de Normalidad pueden clasificarse en cuatro grandes grupos. El primero de ellos mide si la distancia entre el valor de frecuencias
observadas y el vector de frecuencias teóricas es lo suficientemente pequeiia.

ESTADjSTICA ESPAÑOI.A

E1 contraste más popular con esta hlosofía es el de Pearson, que utiliza
coma estadistico la distancia de Mahalanobis:
D^ =(,x-^,)T^^x(x--µ)

(1.1)

donde ^c es el vector de frecuencias observadas, ^^ el vector de frecuencias
teóricas si las observaciones provienen de una distribución normal y^.Y es la
matriz de varianzas y covarianzas de la variable multinornial dehnida por
las clases. Un problema central de este contraste es como construir el vector
x, es decir, como agrupar las frecuencias en clases; este tema hasido objeto
de numerosa literatura ( Dahiya y Gurland ( 1973), Hutchinson ( 1979}).
El segundo tipo de contrastes utiliza la distancia entre la distribución
empírica, F,^ ( x) y la teórica, F(.^). E1 estadístico más representativo dentro
de este tipo es el de Kolmogov-Smirnov dado por:
D2 ^ máx. ^ F'n (.x) - F(x) ^

(1-2)

Crarner y Von Mises han sugerido definir la distancia entre estasfunciones por:
Y

( F'n (x) - F (.X))^ dF' (.x)

fl3 =
_

(l.3)

r

Kendall y Stuart { 1969) revisan estos y otros estadísticos basados en la
misma idea. El tercer grupo se basa en que una muestra de una población
normal da lugar a una recta al dibujarla en papel probabilístico normal,
siendo el coehciente de correlación entre los datos ordenados y sus valores
esperados una medida deeste ajuste. Los tests de Shapiro y Wilks (1965} y
Shapiro y Francia (1972) responden a este principio.
El cuarto grupo se centra en el análisis de los coeficientes de asimetría y
curtosis, solos o conjuntamente ( Pearson et al. (1977)).
El alcance y generalidad de estos cuatro tipos de pruebas es muy distinto. El primer grupo puede aplicarse al ajuste de cualquier distribución, el
segundosólo para distribuciones continuas y los dos últimos son especí%cos
para situaciones gaussianas. Por otro lado, los tres primeros son contrastes
generales, mientras que el ^ último va dirigido específicamente hacia la asimetría y/o la curtosis.
Los estudios relativos a la potencia de estos contrastes (véase Pearson et
al. (1977) y Shapiro et al. (1968)) no son concluyentes ya que la potenciadepende de la distribución alternativa, pero podemos sezialar que el contras-

UN CONTRASTE DE NOItMALIDAD BASADt^ EN LA TRANSFORMACIÓN DE BOX-COX

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te YV de Shapiro-VVilks, parece, en la mayoría de las casas, dominar el resto
de los contrastes, especialmente en peyueñas muestras.
Un problema importante en la utilización de estos contrastes desde un
punto de vista práctico, es que si lahipótesis de normalidad es rechazada,
ninguno de ellos proporciona una guía de cóma proceder a continuación.

Por tanto, sería deseable conocer qué tipo de transformación de los datos observados puede hacerlos aproximadamente normales, de manera que
los métodos estándar sean aplicables.
Un camino para evitar los incanvenientes anteriores es utilizar el enfoque
de Box y Cox y construir un...