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SISTEMAS DE ECUACIONES
Historia de los sistemas de ecuaciones
lineales:
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron
ya resueltos por los babilonios, los cuales
llamaban a las incógnitas con palabras tales
como longitud, anchura, área, o volumen,
sin que tuvieran relación con problemas de
medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla
babilónica plantea la resolución de un
sistema deecuaciones en los siguientes
términos:

3. Dado

el

sistema

⎧ x + ay + a 2 = 0
⎪
,
⎨
2
⎪ x + by + b = 0
⎩

⎛1 1⎞ x
calcule el valor de ⎜ + ⎟ .
⎝a b⎠ y

También resolvían sistemas de ecuaciones,
donde alguna de ellas era cuadrática.

es inconsistente.
Rpta: n = 5

4. Sea la terna ( a; b; c ) solución del

⎧7 x + 4 y − 4 z = 7
⎪
sistema ⎨7 y + 5 z = 12
⎪11y + 8 z = 19
⎩12. Determine los valores del parámetro p
de tal modo que el sistema
⎧( p + 2) x + ( p + 1) y = 1
⎨
⎩6 x + ( p + 3) y = 2

halle el valor de a + b + c .

no tenga solución.

⎧x − y = 2
donde c es
5. Del sistema ⎨
⎩cx + y = 3

una constante, tiene una solución ( x; y )
+
de modo que x , y ∈
. Según ello
indique la condición para c .

Los griegos también resolvían algunossistemas de ecuaciones, pero uti1izando
métodos geométricos. Thymaridas (400 a.
de n.e.) había encontrado una fórmula para
resolver un determinado sistema de n
ecuaciones con n incógnitas.
Diophante resuelve también problemas en
los que aparecían sistemas de ecuaciones,
pero transformándolos en una ecuación
lineal.

6. Determine la condición del parámetro
k
real
para que el sistema
⎧(k +1) x + 4 y = 3
tenga solución única.
⎨
⎩ x + (k + 1) y = 4

Los sistemas de ecuaciones aparecen
también en los documentos indios. No
obstante, no llegan a obtener métodos
generales de resolución, sino que resuelven
tipos especiales de ecuaciones.

7. Determine los valores del parámetro n
⎧5 x = 7 − ny
⎪
para que el sistema ⎨ n
9 tenga
⎪5 x + y = 5
⎩

El libro El artematemático, de autor chino
desconocido (siglo III a. de n.e.), contiene
algunos problemas donde se resuelven
ecuaciones. En ellos encontramos un
esbozo del método de las matrices para
resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Uno de dichos problemas equivale a
resolver un sistema de tres ecuaciones
lineales por dicho método matricial.

SISTEMAS LINEALES
⎧ 4 x + 5 y = 32
⎨
⎩3 x + 7 y = 37

11.Para que valores de n el sistema
⎧(4n + 5) x + (3n + 10) y = −1
⎨
⎩(5n − 1) x + (7 n − 11) y = 2

Rpta: 3

1/4 anchura + longitud = 7 manos
longitud + anchura = 10 manos

1. Resolver el sistema

Mathema

e

Rpta:

solución única.
Rpta: n ∈

− {−5;5}

⎧(k − 1) x + ky = 4
8. Si el sistema ⎨
⎩(k + 1) x + ( k + 3) y = 8
es compatible indeterminado, halle el
valor de k .Rpta: 3
⎧2
⎪( p + 4) x + qy = q
9. Para que el sistema ⎨
⎪(4 − q ) x + y = 1
⎩
sea indeterminado, halle el valor de
p+q.

indique el valor de x 2 + y 2 .
2. La única solución del sistema
2
⎧
⎪2 x + y = n
es (0;1). Calcule el valor
⎨
2
⎪3 x + n y = n
⎩
de n .

− {1; −3}

Rpta: 2
10. Para que valores del parámetro k el
⎧(k + 1) x + (k + 3) y = k + 12
sistema
⎨
⎩(k + 17) x+ 30 y = k + 72
admite infinitas soluciones.

Rpta: 0
13. Determine el mayor valor de k para
que el sistema
⎧(k − 2) x + (k + 1) y = k + 4
⎨
⎩8 x + (k + 8) y = 30
sea incompatible.
Rpta: 6

⎧nx + y + z = 1
⎪
14. En el sistema ⎨ x + y + nz = n halle el
⎪
2
⎩ x + ny + z = n
valor de

(n + 2) y
.
n +1

Rpta: n + 1
15. Al resolver el sistema
⎧cos α .x − senα . y = cos α +senα
⎨
⎩ senα .x + cos α . y = cos α − senα
se obtiene una solución ( x0 ; y0 ) , halle el
2
2
valor de x0 + y0 .

Rpta: 2

SISTEMAS NO LINEALES
1. Resuelva el sistema
⎧x + y = 2
⎨
⎩( x + 5)( y + 3) = 16
⎧ x( x + y ) = −6
2. Resolver ⎨
.
⎩ y ( x + y ) = 10

R: {( − 3;5), (3; − 5)}
3. Resolver el siguiente sistema.
2
⎧24
⎪ x y − 4 xy − 32 = 0
⎨
⎪ xy = 4
⎩

Rpta: k = 3...