Ec. Diferenciales

Ma
tem

atic

as

CAP´
ITULO 3

nsti

tuto

de

APLICACIONES DE LAS
E.D. DE PRIMER ORDEN
´
APLICACIONES GEOMETRICAS

3.1.1.

Trayectorias Isogonales y Ortogonales

y

An
tio

qui

a, I

3.1.

β

f (x)

ersi
Un
iv

γ

da d

de

g(x)

α

x

Figura 3.1
En la figura 3.1 se tiene que α = β + γ, luego γ = α − β, donde γ es el
angulo formado porlas tangentes en el punto de intersecci´n.
´
o
49

50 CAP´
ITULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN
Definici´n 3.1 (Trayectorias Isogonales).
o

as

a). Dada una familia de curvas f (x, y, c) = 0, existe otra familia
g(x, y, c) = 0 que corta a la familia f bajo un mismo angulo γ. A
´
la familia g se le llama la familia de trayectorias isogonales de f y
g(x, y, c) = 0 es soluci´nde la E.D.:
o

Ma
tem

atic

f ′ (x) − g ′ (x)
f ′ (x) − y ′
tan α − tan β
=
=
tan γ = tan(α − β) =
1 + tan α tan β
1 + f ′ (x)g ′ (x)
1 + f ′ (x)y ′
b). En particular, cuando γ = 900 , a g se le llama la familia de trayectorias
ortogonales de f y en este caso g es soluci´n de la E.D.:
o

de

tan α tan β = f ′ (x)g ′ (x) = −1 = f ′ (x)y ′

a, I

nsti

tuto

Ejemplo1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia
y(x + c) = 1.
Soluci´n:
o
f ′ (x) − y ′
=1
tan 450 =
1 + f ′ (x)y ′

qui

por derivaci´n impl´
o
ıcita:

An
tio

d
d
(y(x + c)) =
(1)
dx
dx
dy
=0
dx

1=

Un
iv

En la E.D.:

dy
y
=−
dx
x+c

ersi

⇒

da d

de

y + (x + c)

y
− x+c − y ′

y
1 + − x+c y ′

=

−y
1
y

− y′

1+ −y1
y

=
y′

−y 2 − y ′
1 − y2y′

1 − y 2 y ′ = −y 2 − y ′ ⇒ y ′ (y 2 − 1) = 1 + y 2
y′ =

y2 − 1
y2 + 1
⇒ 2
dy = dx
y2 − 1
y +1

´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS

1−

2
1 + y2

51

dy = dx

as

y − 2 tan−1 y = x + K

atic

g(x, y, K) = 0 = y − 2 tan−1 y − x − K

Ma
tem

Ejercicio 1. Hallar las trayectorias isogonales a 45o de la familia y = ceax ,
donde cy a son constantes.
2
(Rta.: y + a ln |ay − 1| = x + c)

tuto

de

Ejercicio 2. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia y 2 = cx3 .
(Rta.: 2x2 + 3y 2 = C2 )

a, I

nsti

Ejercicio 3. Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hip´rboe
las equil´teras xy = c.
a
(Rta.: x2 − y 2 = C)

An
tio

qui

1 3
Ejercicio 4. Determinar la curva que pasa por ( 2 , 2) y corta a cada
2
2
2
miembro√ la familia x + y = c formando un angulo de 60o .
de
´
√
1
1
2
2
−1 x
−1 1
3 tan y = ± 2 ln |x + y | + 3 tan 3 − 2 ln 5 )
(Rta.:
2

da d

de

Ejercicio 5. Hallar la familia de trayectorias ortogonales de la familia de
curvas y = C1 x2 .
2
(Rta.: x + y 2 = C)
2

Un
iv

ersi

Ejercicio 6. Hallar la familia de trayectorias ortogonales dela familia de
curvas y = C1 e−x .
2
(Rta.: y2 = x + C)
Ejercicio 7. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias
ortogonales de la familia de curvas x + y = C1 ey que pasa por (0, 5).
(Rta.: y = 2 − x + 3e−x )

3.1.2.

Problemas de Persecuci´n:
o

Ejemplo 2. Un esquiador acu´tico P localizado en el punto (a, 0) es
a

52 CAP´
ITULO 3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMERORDEN
remolcado por un bote de motor Q localizado en el or´
ıgen y viaja hacia
arriba a lo largo del eje Y . Hallar la trayectoria del esquiador si este se dirige
en todo momento hacia el bote.
y

Ma
tem

atic

as

Q

θ

x

nsti

Figura 3.2

x

tuto

(a, 0)

de

P (x, y)

An
tio

qui

a, I

Soluci´n: del concepto geom´trico de derivada se tiene que:
o
e√
y ′ = tan θ = − sec2 θ − 1,
pero de la figura 3.2 y teniendo en cuenta que P Q = a, se tiene que

y = − sec2 −1 = −
separando variables:

√
a2
a2 − x 2
−1=−
, donde x > 0,
x2
x

ersi

√

Un
iv

′

da d

por lo tanto,

PQ
a
=−
x
x

de

sec θ = −

√

a2 − x 2
dx,
x
por medio de la sustituci´n trigonom´trica x = sen α en el lado derecho de
o
e
la...