Ec Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I
Jos´ Enrique Maciel Brise˜o e n Universidad Aut´noma Metropolitana-Iztapalapa o

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

La politica es para el momento, una ecuaci´n es para la eternidad. o Albert Einstein.

´ Indice general
1. Ecuaciones lineales 1.1. Ecuaciones diferenciales separables 1.2. Ecuaciones lineales de 1er orden . . 1.3. Ecuaci´n deBernoulli . . . . . . . o 1.4. Ecuaciones Exactas . . . . . . . . . 1.5. Factores Integrantes . . . . . . . . 9 10 12 13 15 16 19 21 25 27 28 30 31 31 31

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2. Ecuacionesdiferenciales homog´neas e dy ax+by+c 2.1. Ecuaciones de la forma dx = F dx+ey+f . . . . . er 2.2. Ecuaci´n de Clairaut de 1 orden . . . . . . . . o 2.3. Teorema de Existencia y Unicidad . . . . . . . . 2.4. Ecuaci´n de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Campo de Direcci´n y el M´todo de las Isoclinas o e 2.6. Aplicaci´nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.6.1. Crecimiento dePoblaci´n . . . . . . . . . o 2.6.2. Desintegraci´n Radioactiva . . . . . . . . o 3. Ecuaciones Homog´neas de segundo orden e costantes 3.1. M´todo de Reducci´n de Orden . . . . . . . . e o 3.2. M´todo de Variaci´n de Par´metros . . . . . e o a 3.3. Plano Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Oscilador Arm´nico No Amortig¨ado o u3.4.2. Oscilador Arm´nico Amortig¨ado . . o u 3.4.3. Oscilador Arm´nico Forzado . . . . . o

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con coheficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 33 37 39 42 43 43 44 45

4. Transformada de Laplace 47 4.1. Aplicaci´n en la Ecuaci´n Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . 49 o o 4.2. Tecnicas para encontrar Transformadas de Laplace y sus Transformadas Inversas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2.1. Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2. Teorema de laTransformada Inversa de Laplace . . . . . 51 4.2.3. M´todo de Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . 52 e 3

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias I

4.2.4. M´todo de Convoluciones . . . . . . . . . . e 4.3. Funciones Discontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Funci´n salto Unidad de Heaviside . . . . . o 4.3.2. Funci´n Impulso y Funci´n Delta de Dirac o o 5. Series ySucesiones 5.1. Sucesi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2. L´ ımite de Sucesiones . . . . . . . . . . 5.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Series de Potencias . . . . . . . . . . . 5.5. Puntos Ordinarios y Puntos Singulares

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53 54 55 58 61 61 62 62 65 68

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´ Indice de figuras
1.1. Familia de soluciones ejemplo 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Soluci´n particular que cumple est´ condici´n ejemplo 7. . . . . . o a o 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Gr´fica de la sol. del ejemplo 20. aIlustraci´n del teorema 2.3.1. . . o Gr´fica del ejemplo 21. . . . . . . a Campo de direcci´n. . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 26 27 28 30 43 45 54 55 56 57 58

3.1. Gr´fica del resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2. Resorte comprimido. ....