eccuaciones

4 º LABORATORIO INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS

Profesor : Sr. René Maluenda M. Primer Semestre del 2006

ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA. ECUACIONES FRACCIONARIAS Y LITERALES.
Durante muchos años, el estudio del álgebra ha estado estrechamente ligado con el de las ecuaciones. Al aplicar la matemática asituaciones prácticas se suele hacer uso de ellas.

Al relacionar cantidades mediante el signo igual podemos distinguir tres situaciones: igualdades, identidades y ecuaciones.

Definición 1: Igualdad es la equivalencia entre dos cantidades numéricas o literales.

Ejemplo :
5+7 = 12, 3x +7x =10x

Definición 2: Identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la variable(cantidad desconocida)

Ejemplo :
15 + x = 15 + x
Para resolver ecuaciones debemos saber lo que es una ecuación, lo que significa resolver una ecuación y cuál es el campo numérico en el cual están las incógnitas y los coeficientes.

Definición 3: Ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que hay una o más cantidades literales desconocidas llamadas incógnitas. Igualdad válida paraalgunos valores del universo de la variable.
En general, los coeficientes se escriben con las primeras letras del alfabeto y las incógnitas con las últimas. Las expresiones que están a la izquierda y a la derecha del signo igual se llaman primer miembro y segundo miembro de la ecuación, respectivamente.

Resolver una ecuación es determinar el o los valores de la variable que verifican la igualdad.Definición 4: Solución de una ecuación con una incógnita (variable) es un valor de la variable que verifica la ecuación dada.
La solución debe ser un elemento del conjunto universo de la variable. Si no especificamos el universo de la variable subentendemos que es el conjunto IR.
Las ecuaciones de acuerdo con el número de incógnita se dividen en:
ecuaciones con una incógnita
ecuaciones condos incógnitas
................................................
ecuaciones con “n” incógnitas

Las ecuaciones con una incógnita podemos clasificarlas según el grado de la ecuación.

Definición 5: Grado de una ecuación, con una incógnita, de la forma es el mayor exponente natural al cual esta elevada la incógnita.

Algunos ejemplos de ecuaciones con una incógnita clasificadas deacuerdo con el grado son :
-ecuación lineal o de primer grado:
-ecuación cuadrática o de segundo grado:
- ecuación cúbica o de tercer grado:
-ecuación de cuarto grado:




Definición 6: Conjunto Solución de una ecuación es el subconjunto de R (en este caso) formado por todos los elementos que verifican la ecuación o que satisfacen la ecuación.

Definición 7: Dos ecuaciones sonequivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto solución.
Es posible demostrar que el número de soluciones de una ecuación con una incógnita depende del grado de la ecuación.
Así tenemos, por ejemplo, que:
La ecuación lineal tiene a lo más una solución.
La ecuación de segundo grado tiene a lo más dos soluciones.
La ecuación cúbica tiene a lo más tres soluciones.
La solución de una ecuación conuna incógnita se llama también raíz o cero de la ecuación.

1.1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA (ECUACIÓN LINEAL)







Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se transforma la ecuación en otras equivalentes más sencillas hasta obtener una ecuación en que el conjunto solución sea obvio.

Para obtener las ecuaciones equivalentes debemos aplicarlos axiomas y propiedades de campo ya estudiados. Entre ellas, recordemos la ley de cancelación para la adición y para la multiplicación.

Si
Si
De esta propiedad podemos concluir que:
Si a los dos miembros de una ecuación se suma un mismo número se obtiene una ecuación equivalente.
Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número distinto de cero se obtiene...