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C u r s o : Matemática
Material N° 31

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 24
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean respectivamente
congruentes con los ángulos del otro y cuando además, tengan sus lados homólogos
proporcionales.
C
R

ΔABC ∼ ΔPQR si y solamente si
A≅ P,
B≅ Q, C≅ R
y
ABBC CA
=
=
PQ QR RP

A

B

P

Q

OBSERVACIONES

Esta definición encierra la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son semejantes,
si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de
uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro ycuando además,
tengan sus lados homólogos proporcionales.
La congruencia es un caso particular de semejanza.
EJEMPLOS

1.

Si en la figura 1, ΔABC ∼ ΔA’B’C’, entonces α es
A)
B)
C)
D)
E)

2.

igual a α’
un cuarto de α’
un tercio de α’
el doble de α’
el triple α’

C’

C
4

α
A

9

3

2

B

α’
A’

6

fig. 1

B’

Los lados de un triángulo miden 30 cm, 50 cmy 60 cm. ¿Cuánto mide el lado más largo de
un triángulo semejante con él y cuyo lado menor mide 20 cm?
A)
B)
C)
D)
E)

30
40
50
60
70

cm
cm
cm
cm
cm

TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de las seis
condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocannecesariamente la ocurrencia de las otras restantes.
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL)

Para que dos triángulos sean semejantes, los ángulos de uno de ellos deben ser congruentes a
los ángulos del otro.
C
R
O sea, en la figura 1
Si

A≅

P y

B≅

fig. 1

Q,

entonces
ΔABC ∼ ΔPQR
COROLARIO

A

B

Q

P

Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulosemejante al primero (figura 2).
O sea:

C

Si DE // AB ,
entonces
ΔCDE ∼ ΔCAB

fig. 2
D

E

A

B

EJEMPLOS

1.

En la figura 3, el trazo DE es paralelo al lado AB del triángulo ABC. Entonces, el triángulo
CDE es semejante al triángulo ABC en su orden
C
fig. 3
A)
BAC
B)
CBA
C)
CAB
E
D
D)
BCA
E)
ABC
A

2.

B

Las rectas L1 y L2 de la figura 4, son paralelas ylos trazos DB y AE se cortan en C.
Entonces, el triángulo ABC es semejante al triángulo DEC en su orden
A)
B)
C)
D)
E)

L1

DCE
EDC
DEC
ECD
CED

E

D

fig. 4

C
L2

2

A

B

TEOREMA 2
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido
entre lados proporcionales.
R
O sea, en la figura 1:
Si

A≅

C
k·b

b

AC
AB=
P y
, entonces ΔABC ∼ ΔPQR
PR
PQ

c

A

TEOREMA 3

B

fig. 1

P

Q

k·c

Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.

C

O sea, en la figura 2:

R

AB
BC
CA
=
=
Si
, entonces ΔABC ∼ ΔPQR
QR
RP
PQ

k·q

TEOREMA 4

k·p

A

P

B

k·r

fig. 2

q

p

Q

r

Para que dos triángulos sean semejantes,basta que tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.

C

O sea, en la figura 3:

AC
AB
=
,
PR
PQ
entonces ΔABC ∼ ΔPQR
Si

C ≅

R

y

AB > AC

PQ > PR

R

k·q

fig. 3

q

A

B

k·r

r

P

Q

EJEMPLOS
1.

Sea ΔABC ∼ ΔDEF y las longitudes de los lados sean las indicadas enla figura 4. ¿Cuál es la
longitud de (x + y)?
A)
B)
C)
D)
E)

2.

21
4
27
4
30
4
51
4
61
4

C
12

A

F
10
D

B

7

10
8
6
3,9
1,3

AB
BC
=
?
PR
PQ

R

B

m

7

C
3x – 6

3

3x

6

Q

m
14

A
3

fig. 4

E

x

Según los datos dados en la figura 5, ¿cuál es la longitud de AC si

A)
B)
C)
D)
E)

y

9

P

fig....