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CAPITULO 2
MODELO DE REGRESION DE DOS VARIABLES

1.1 Estimación Puntual
1.1.1 Especificación del modelo lineal

Supongamos que la teoría económica sostiene que:

[2.1]

Donde:

Es la variable dependiente (endógena)
Es la variable independiente (exógena)

Además, si suponemos que ambas variables se relacionanlinealmente se tiene la siguiente especificación matemática

[2.2]

Consideremos que se dispone de n pares de observaciones para las variables representados por

,

Uno de los objetivos iniciales del análisis econométrico es obtener estimaciones de los parámetros desconocidos y con base a la información disponible , . Si la relación postulada fuera cierto sólo senecesitaría de dos pares de observaciones muestrales y con ella determinar la ecuación de la recta definida por [2.2]. Cualquier otro punto muestral se encontraría en la misma línea y no supondría ninguna información adicional. Sin embargo, una relacional funcional tal como la proporcionada por [2.2] es una descripción inadecuada del comportamiento económico dado que no todos los puntos muestrales estánsobre una misma línea recta. De modo que, la especificación de la relación lineal exacta se debe reemplazar por esta otra especificación alternativa

[2.3]

Donde:

Representa a una variable aleatoria con una determinada distribución de probabilidad. El papel del término es el de recoger las discrepancias que surgen entre los valores observados de y los valores que daría una relaciónfuncional exacta. ¿Cuáles son las razones de esta discrepancia aludida? En realidad son varias, la principal es que la variable endógena no solo depende de la variable exógena, , explícitamente considerada en el modelo [2.3]. Es decir, , es un sustituto de todas aquellas variables que son omitidas del modelo pero que, conjuntamente, afectan a la variable endógena.

En general, no podemospredecir el valor específico de que surge para una observación individual, pero si podemos hacer proposiciones en torno a las características principales de su distribución de probabilidad. Estas características son las siguientes:

[2.4]
[2.5]
[2.6]

O en forma compacta



Donde, el símbolo ~ significa “se distribuye” y significa “distribuido normal eindependiente”.

Obsérvese que de [2.3], aplicando el operador de esperanza matemática, se tiene



Considerando [2.4] resulta ser que

[2.7]

A esta última relación lineal obtenida se le denomina la función de regresión poblacional (FRP). Estrictamente, el propósito del análisis econométrico es determinar, utilizando algún método apropiado, esta función de regresión poblacional. Esdecir, estimar el valor promedio de la variable endógena, el cual queda determinado si se logra estimar los parámetros y.

1.1.2 Método de mínimos cuadrados ordinarios

Dado un conjunto de n pares de observaciones muestrales asociadas a nuestras variables (endógena y exógena), se puede considerar como una estimación de la función de regresión poblacional, la siguiente línea recta[2.8]

Donde:

Es la variable endógena estimada para un valor determinado de
Es el intercepto estimado
Es la pendiente estimada

Una vez determinado la variable endógena estimada, , es evidente que no todas serán iguales a la variable endógena observada, , de modo que por definición se tiene por diferencia los denominados errores muestrales siguientes

[2.9]

El cual,reemplazando [2.8] en [2.9], se puede escribir alternativamente como

[2.10]

Elevando al cuadrado cada error muestral y aplicando sumatorias se tiene

[2.11]

El criterio del método de mínimos cuadrados ordinarios es seleccionar y tal que se minimicen los errores muestrales al cuadrado. Siguiendo este criterio, por la condición de primer orden de optimización, se tiene:...