Economiageneral

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniera Civil

Herramientas para el Laboratorio
Mg.: Fredy Miguel Loayza Cordero

Tratamiento de Datos El valor exacto de una magnitud (X) es una abstracción matemática. En la practica, siempre la medición es un valor un diferente (x).

- Medición directa que podemos una ves. - Mediciones directas que es poden repetir N veces. - Medicionesindirectas.

Medición directa que podemos una ves.
Sea x la medida tomada por el experimentador y el error debido a la resolución del instrumento σres.

Ejemplo: L=8±1

La medida tomada con el vernier y el error debido a la resolución del instrumento.

L=1,765±0,005 cm.

Medición directa de N veces.

Sean N mediciones tomadas El resultado de N mediciones es

Donde el promedio yLa desviación σ es

Ejemplo de N mediciones tomadas, como por ejemplo el tiempo.

Medición indirecta.

Sean una medida Z que depende de dos parámetros como X e Y.

Ejemplo: Hallar el volumen de un cono si se toman datos de su Radio r y su altura h, entonces:

Con el error experimental y el error de resolución. Se tiene

Mecanismos para el Ajuste de Curvas

• Ajustar a los datosuna f(x) matemática recta, polinomios, exponenciales, curvas S Selección de f(x): análisis gráfico, pendiente, ...

Mecanismos para el Ajuste de Curvas
• Consideremos los siguientes puntos (xi,yi), i=1,2,… n. resultados de datos experimentales de una medición en el laboratorio. • Se buscara determinar la ecuación que mejor se ajuste al conjunto de valores medidos que represente la relación demagnitudes que intervienen en el fenómeno que nos interesa. • Los mejores ejemplos, son los casos de las curvas serian una recta, parábola, etc. • Recta: • Parábola: • Exponencial:

y  ax  b
y  ax 2  bx  c
y  a bx

Métodos de mínimos cuadrados
• Consideremos los siguientes puntos (xi,yi), i=1,2,… n. Queremos construir una función f(x) que los puntos (xi,F(xi)), con i=1,2,… n casicoincidan con los puntos anteriores. • Denotando Di las desviaciones • S= ΣDi2 con i=1,2,… n. • Si S=0 entonces Di son iguales a cero y tendríamos que F pasa por todos los puntos experimentales.

Métodos de mínimos cuadrados
• • • • S= ΣDi2 con i=1,2,… n. S= D12+ D22 +…..+ Dn2 S=(b+ax1-y1)2+…..+ (b+axn-yn)2 Para obtener el mínimo de S igualamos a cero las derivadas parciales respecto a b y a
S 2(b  x1  y1 )  ...  (b  xn  yn )  0 b
S  2(b  x1  y1 ) x1  ...  (b  xn  yn ) xn   0 a

Métodos de mínimos cuadrados
• Donde:

nb  a  xi   yi  0 b xi  a  xi   xi yi  0
2

l

Resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos

 (x  x) y a  (x  x)
i 2 i

i

b  y  ax

Regresión Lineal
Se basa en la siguiente expresión matemática, querelaciona dos variables, sea Y, la variable dependiente y X, la variable independiente, de la siguiente manera:

y  ax  b
Esta relación se resuelve a través de la solución de las siguientes ecuaciones normales, donde la incógnitas son la “a” y “b”.

 y  nb  a x  xy  b x  a x
2

 y  a x b
n

;

a

n xy   x y n x 2    x 
2

Resumen de Ajuste Lineal de Tendenciacon Regresión Lineal de Mínimos Cuadrados
y = ax+b donde, b a x y = ordenada origen = pendiente = variable independiente = estimación de la variable dependiente xi - x )yi

a =

xi- x) 2 b=y-ax donde, n = número de mediciones x = x , valor medio x n y = y , valor medio y n

Ajuste Lineal de Tendencia con Mínimos Cuadrados Ejemplo:
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 78 y 37 40 41 37 4550 43 47 56 52 55 54 557 xy 37 80 123 148 225 300 301 376 504 520 605 648 3867

x2 1 78 4 x  6.5 9 12 16 557 25 y  12  46.42 36 xy  nx y 3,867  (12)( 6.5)( 46.42) 49 a    1.72 2 2 2 650  12( 6.5) x  nx 64 81 b  y  ax  46.42  (1.72)( 6.5)  35.2 100 y  35.2  1.72 x 121 y13  35.2  1.72(13)  57.56 144 650

 

Ejemplo: Tendencia Lineal
Título del gráfico
60 50 Título...