Ecuación del plano y de la recta

Ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Para que el punto P pertenezca al plano π el vector tiene que ser coplanario cony .




Ecuaciones paramétricas del plano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ• Por tanto eldeterminante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
Desarrollamos el determinante.

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamoslas operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:


Vector normal

El vector es un vector normal al plano, es decir, perpendicular al plano.



Si P(x0,y0, z0) es un punto del plano, el vector es perpendicular al vector , y por tanto el producto escalar es cero.

De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano, a partir deun punto y un vector normal.






Ecuación canónica o segmentaria del plano




Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos y ; hallar las coordenadas del tercer vértice

Solución
La longitud de cada lado del triangulo equilátero es
Sies el tercer vértice, entonces y
es decir y

Resolviendo el sistema de ecuaciones


se tiene y ;
luego el tercer vértice puede ser óHallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1, 2, 3) y (3, -2, 1) y es perpendicular al plano 3x - 2y + 4z - 5 = 0.
Necesitamos un vector perpendicular al plano que...