Ecuación Normal de la Recta

 ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA.

Sea A un punto de la recta r; cualquier punto X de la recta r determina con A un vector AX; si representamos por n un vector ortogonal al vector director de la recta, se verifica:
n.AX=0, es decir, n.(x-a)=0
Si A(x1,y1) y X(x,y) son las coordenadas de los puntos A y X, respectivamente, y n=(A,B), sustituyendo estas coordenadas en la expresión vectorialanterior, se tiene:
A(x-x1)+B(y-y1)=0 o bien: Ax+By+C=0
 

Los puntos A y X de la recta r determinan el vector:
 = (x - a1, y - a2)
El vector  es un vector unitario y perpendicular a r. Si las componentes del vector director de r son (-B, A), las componentes de su vector perpendicular correspondiente son: (A, B). Por tanto las componentes del vector unitario y perpendicular seránEcuación Normal de la recta
Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.)
Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas.
Donde x que es una constante que nos ayudaráa obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:



Con el número x podemos obtener a cosω y a senω de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B entre k y para calcular dividimos a C entre k.

Debemos tener cuidado al calcular C, porque C=-kd, entonces si C>0(es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C á : Elipse (amarillo)
• â = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)

Esquema de las tres secciones cónicas.
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
• Cuando â > á la intersección es un único punto (el vértice).
• Cuando â =á la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
• Cuando â < á la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las
rectas irá aumentando a medida â disminuye, hasta alcanzar el máximo (á) cuando el plano contenga al eje del cono
(â = 0).

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que lasuma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Eje mayor, AA´
Eje menor, BB´
Distancia focal, OF
Elementos de una elipse


La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente
La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica: 

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Las hipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.
Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:
Centro, O
Vértices, A y A
Distancia entre los vértices
Distancia entre los focos
La ecuación de unahipérbola con centro (0, 0), es: 
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas  y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto 

Ejemplos:
a)

b)


Ecuación de la hipérbola en su forma compleja Una hipérbola en el plano complejo es el lugar...