ecuacion de transmision de calor

f(x)=〖-e〗^(-x) (0,π)
Resolviendo la función por serie de cosenos
Sabiendo lo siguiente:
f(x)=a_0/2 ∑_(n=1)^∞▒a_n cos nπx/p
Donde:
a_0=2/p ∫_0^p▒〖f(x)dx〗 & a_n=2/p ∫_0^p▒〖f(x)〗 cos nπx/p dx

Resolviendo a_0 , empezando por sustituir p = π, tenemos que:

a_0=2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) dx=2/π〗 ∫_0^π▒e^u du=2/π [e^(-x) ]_0^π=2/π [e^(-π)-e^0 ]=-0.6091
u=-x -du=dx

Ahora resolvemos a_n ,empezando por sustituir p = π, tenemos que:
a_n=2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nπx/π dx=2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗〗 〗
Aplicando integración por partes, donde:
u=cos⁡nx du=-n sen nx dv=〖-e〗^(-x) v=e^(-x)
a_n=2/π [e^(-x) cos⁡nx+n∫_0^π▒〖e^(-x) sen nx〗]
Volviendo a hacer una integración por partes, donde:
w=sen nx dw= n cos⁡〖nx dx〗 dz=e^(-x) z=〖-e〗^(-x)
a_n=2/π {e^(-x)cos⁡nx+n[〖-e〗^(-x) sen nx-n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗]}
Nos damos cuenta que la resolución de esta integral se hace cíclica, por tanto la igualamos a la integral original y nos queda de la siguiente manera:
2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗=2/π {e^(-x) cos⁡nx+n[〖-e〗^(-x) sen nx-n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗]}
Se elimina 2/π por lo tanto nos queda:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗={e^(-x)cos⁡nx+n[〖-e〗^(-x) sen nx-n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗]}
Desarrollando el miembro de la derecha de nuestra ecuación, nos queda:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) cos⁡nx 〖-n e〗^(-x) sen nx-n^2 ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗
Agrupando términos semejantes:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗+n^2 ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) cos⁡nx 〖-n e〗^(-x) sen nx
Simplificando términos semejantes:
(n^2+1)∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) cos⁡nx 〖-n e〗^(-x) sen nx
Despejando (n^2+1) , nos queda lo siguiente:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) cos⁡〖nx dx〗 〗=1/((n^2+1) ) e^(-x) cos⁡nx 〖-n/((n^2+1) ) e〗^(-x) sen nx
Evaluando los límites de integración, nos queda de la siguiente forma:
a_n=1/((n^2+1) ) e^(-π) cos⁡nπ 〖-n/((n^2+1) ) e〗^(-π) sen nπ-1/((n^2+1) ) e^0 cos⁡(n(0)) 〖+n/((n^2+1) ) e〗^0 sen(n(0))
Por lo tantose reduce a:
a_n=1/((n^2+1) ) e^(-π) 〖 (-1)〗^n-1/((n^2+1) )
Sustituyendo en la primera ecuación a_0 y a_n:
f(x)=(-0.6091)/2 ∑_(n=1)^∞▒(1/((n^2+1) ) e^(-π) 〖 (-1)〗^n-1/((n^2+1) )) cos nπx/p

Resolviendo la función por serie de senos
Sabiendo lo siguiente:
f(x)=∑_(n=1)^∞▒b_n sen nπx/p
Donde:
b_n=2/p ∫_0^p▒〖f(x)〗 sen nπx/p dx
Sustituyendo p = π en bn:
b_n=2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x)sen⁡〖nπx/π dx=2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗〗 〗
Aplicando integración por partes, donde:
u=sen⁡nx du=n cos nx dv=〖-e〗^(-x) v=e^(-x)
b_n=2/π [e^(-x) sen⁡nx-n∫_0^π▒〖e^(-x) cos nx〗]
Volviendo a hacer una integración por partes, donde:
w=cos nx dw= n sen⁡〖nx dx〗 dz=e^(-x) z=〖-e〗^(-x)
b_n=2/π {e^(-x) sen⁡nx-n[〖-e〗^(-x) cos nx+n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗]}
Nos damos cuenta que la resolución de laintegral se hace cíclica, por tanto la igualamos a la integral original y nos queda de la siguiente manera:
2/π ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗=2/π {e^(-x) sen⁡nx-n[〖-e〗^(-x) cos nx+n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗]}

Se elimina 2/π por lo tanto nos queda:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗={e^(-x) sen⁡nx-n[〖-e〗^(-x) cos nx+n∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗]}
Desarrollando el término de laderecha:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) sen⁡nx 〖+n e〗^(-x) cos nx+n^2 ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗
Agrupando términos semejantes:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗-n^2 ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) sen⁡nx 〖+n e〗^(-x) cos nx
Simplificando términos semejantes:
(〖1-n〗^2 ) ∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗=e^(-x) sen⁡nx 〖+n e〗^(-x) cos nx
Despejando (〖1-n〗^2 ) , nos queda losiguiente:
∫_0^π▒〖〖-e〗^(-x) sen⁡〖nx dx〗 〗=1/((〖1-n〗^2 ) ) e^(-x) sen⁡nx 〖-n/((〖1-n〗^2 ) ) e〗^(-x) cos nx
Evaluando los límites de integración, nos queda de la siguiente forma:
b_n=1/((〖1-n〗^2 ) ) e^(-π) sen⁡nπ 〖-n/((〖1-n〗^2 ) ) e〗^(-π) cos nπ-1/((〖1-n〗^2 ) ) e^0 sen〖(n(0))+n/((〖1-n〗^2 ) ) e〗^0 cos(n(0))
Por lo tanto se reduce a:
b_n=-1/((〖1-n〗^2 ) ) e^(-π) 〖...